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时间:2020-01-18
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1、逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数,可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述,并且可以用逻辑运算的方法,解决逻辑电路的分析和设计问题。与、或、非是3种基本逻辑关系,也是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算。逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。逻辑函数及其相等概念(1)逻辑表达式:由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中,等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量,等式左边的字母Y称为输出逻辑变量,字母上面没有非运算符的叫做原变量,有
2、非运算符的叫做反变量。(2)逻辑函数:如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值,输出逻辑变量Y就有唯一确定的值,则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为注意:与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变量还是函数,其取值都只能是0或1,并且这里的0和1只表示两种不同的状态,没有数量的含义。(3)逻辑函数相等的概念:设有两个逻辑函数它们的变量都是A、B、C、…,如果对应于变量A、B、C、…的任何一组变量取值,Y1和Y2的值都相同,则称Y1和Y2是相等的,记为Y1=Y2。若两个逻辑函数相等,则它们的真值表一定相同;反之,若两个函数的真值表完全相同,则这两个函
3、数一定相等。因此,要证明两个逻辑函数是否相等,只要分别列出它们的真值表,看看它们的真值表是否相同即可。证明等式:3.1逻辑代数的公式、定理和规则1、逻辑代数的公式和定理(1)常量之间的关系(2)基本公式分别令A=0及A=1代入这些公式,即可证明它们的正确性。(3)基本定理利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明A·B=B·A:(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1证明分配率:A+BA=(A+B)(A+C)
4、证明:(4)常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A·1=1互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1例如,已知等式 ,用函数Y=AC代替等式中的A,根据代入规则,等式仍然成立,即有:2、逻辑代数运算的基本规则(1)代入规则:任何一个含有变量A的等式,如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。(2)反演规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量
5、,那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y(或称补函数)。这个规则称为反演规则。例如:(3)对偶规则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式Y',Y'称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如:对偶规则的意义在于:如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如:注意:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照逻辑运算的优先顺序进行:先算括号,接着与运算,然后或运算,最后非运算,否则容易出错
6、。逻辑函数的表达式一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同,但逻辑功能是相同的。1、逻辑函数的最小项及其性质(1)最小项:如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量,其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次,则这个乘积项称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项:(2)最小项的表示方法:通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定:把最小项中的原变量记为1,反变量记
7、为0,当变量顺序确定后,可以按顺序排列成一个二进制数,则与这个二进制数相对应的十进制数,就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为:最小项的编号:把与最小项对应的变量取值当成二进制数,与之相应的十进制数,就是该最小项的编号,用mi表示。对应规律:原变量1反变量000000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7(3)最小项的性质:①任意一个最小项,只有一组变量取值使其值为1。③全部最小项的和必为1。ABCABC②任意两个不同的最小项的乘积必为0。2、逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函
8、数都可以表示成唯一的一组最小项之和,称
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