2020版高考数学大一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理含解析新人教A版.doc

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1、第2节　等差数列及其前n项和考试要求　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差

2、是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.[微点提醒

3、]1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.

4、(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)A.31B.32C.33D.34解析　由已知可得解得∴S8＝8a1＋d＝32.答案　B3.

5、(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.答案　1804.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A.－12B.－10C.10D.12解析　设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(

6、－3)＝－10.答案　B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)A.－3B.－C.－2D.－4解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为所以解得d＝－4.答案　D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______.解析　在等差数列{an}中，∵a3＋a8>0，S9<0，∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝＝9a5<0，∴a5<0，a6>0，∴S1，S2，…，S9中最小的是S5

7、.答案　S5考点一　等差数列基本量的运算【例1】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)A.9B.10C.11D.15解析　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，依题意得所以d＝4.法二　等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－

8、16＝8，则d＝4.(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.答案　(1)C　(2)B规律方法　1.等差数列的通项公式及前n项和