三角形四心概念及性质.doc

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1、.三角形“四心”概念及性质　重心垂心外心内心定义三角形的三条______的交点。三角形的三条_____的交点。三角形的______的圆心，也就是三角形三边的______的交点。三角形的______的圆心，也就是三角形三内角的______的交点。图形性质三角形的重心分中线比为______。　三角形的外心到_____距离相等。三角形的内心到______距离相等。与三角形的位置关系必在三角形的_______。锐角三角形在_____，钝角三角形在____，直角三角形在_____。锐角三角形在____，钝角三角形在__

2、___，直角三角形在_____。必在三角形的______。   （学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。）..   师：三角形的重心有什么性质？   生甲：分中线为1:2。   生乙：分中线为3:1。   师：应当把重心看成中线的内分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1，H是垂心，有几组四点共圆？（学生回

3、答略。）   师：外心与内心各有什么性质？（学生回答略。）[通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。]   （教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。）   师：锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。..[通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。]   师：至于外心，请同学们课后用同样的方法画几个不同形状的三角形来验证结论的正确性。   上面，我们归

4、纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。   生：都在同一条直线上。   师：在哪一条直线上？   生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。   师：对！三线合一，“四心”在三角形的对称轴上。   师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？   生：都重合成一个点了。   师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？   生：“中心”，   ..师：等边三角形叫做正三角形。正三角形的重心、内心、垂心、外

5、心重合成一个点，就是正三角形的“中心”。“中心”是正多边形所特有的，不是正多边形就没有中心。因此三角形中只有等边三角形才有中心，其他三角形都没有中心。[把课本中学过的几个“心”都串起来了，揭示出其内在的联系，让学生能够系统地掌握知识。]二、练习   师：我们先做下面的练习：已知三角形的三边长分别为5、12、13，那么垂心到外心的距离是多少？   生：6.5。   师：怎么得到的？   生：如图2，因为已知三角形是直角三角形，外心是斜边的中点，垂心是直角顶点，所以，此两“心”距离是斜边中点到顶点的距离，利用直角

6、三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，便可得出已知三角形的垂心到外心的距离为。　..   师：为什么已知三角形是直角三角形呢？   生甲：根据勾股定理得出。   师：对不对？   （生甲一时回答不出。）   生乙：不对，应是根据勾股定理的逆定理。   师：对！回答推理根据时，要弄清是勾股定理还是勾股定理的逆定理。   （教师让学生叙述勾股定理还是勾股定理的，分析其区别与联系。）   师：重心到垂心的距离是多少？   生：。   师：为什么乘以？   生：根据重心性质。   师：性质是2:1，而现在是2:3，其中

7、有什么关系？请大家观察图3进行思考。..[提出这个问题的目的，是为了帮助中、下程度的学生进一步理解线段比的变化，明白解题的道理。]   师：垂心到最大边的距离是多少？先请同学们思考一下，这距离应是图2中哪条线段的长度？   生甲：是斜边上的高。   师：怎样计算斜边上的高呢？   生甲：可以用相似形计算。   师：有没有更简便的办法？   生乙：利用面积计算。   ∵S△，   师：利用面积解题是一种常用的办法，同学们应对此引起足够的重视，灵活地加以运用。   重心到最长边的距离是多少？..   生：如图4，

8、重心到最长边的距离是指GH的长，通过两线平行，对应线段成比例的性质，可计算出GH的长为即，结果是。   师：对！这里同样也到了重心的性质。[反复运用重心性质，有利于学生记忆和灵活应用。]   师：外心到最短边的距离是多少？   生：如图5，外心到最短的距离为。   （反应快的学生脱口而出是6，教师追问其理由，并顺便复习有关定理。）   师：内心到重心的距离是多少？   （学生交头接耳，纷纷讨论解题的