2018-2019学年高中数学第二章平面向量章末复习课学案新人教A版必修4.doc

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1、第二章平面向量章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).专题一　有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b

2、⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.[例1]　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．解：法一：向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．因为ka＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)．2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．所以解得即实数k的值为－1.法二：因为ka＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)，2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，ka＋2b与2a－4b平行，所以(k－6

3、)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1.归纳升华1．向量与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b＝λa.2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.[变式训练]　平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．所以解得(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．所以2(3＋4k)＋

4、5(2＋k)＝0，即k＝－.专题二　有关向量的夹角、垂直问题非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，cosθ＝＝.[例2]　已知向量a，b满足

5、a

6、＝，

7、b

8、＝2，

9、a＋b

10、＝，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．解：由已知

11、a

12、＝，

13、b

14、＝2，

15、a＋b

16、＝，所以(a＋b)2＝13.所以a2＋2a·b＋b2＝13，则()2＋2a·b＋22＝13，得2a·b＝6.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝()2－6＋22＝1，所以

17、a－b

18、＝1.所以cosθ＝＝＝＝－.归纳升华1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对

19、角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的.[变式训练]　(1)若非零向量a，b满足

20、a

21、＝

22、b

23、，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．π(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．(1)解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为

24、a

25、＝

26、b

27、，设〈a，b〉＝θ，即3

28、a

29、2－

30、a

31、·

32、b

33、·cosθ－2

34、b

35、2＝0，所以

36、b

37、2－

38、b

39、2

40、·cosθ－2

41、b

42、2＝0.所以cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，所以x＝－.答案：A　(2)－专题三　有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)

43、a

44、2＝a2＝a·a；(2)

45、a±b

46、2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则

47、a

48、＝；(4)应用三角形或平行四边形法则．[例3]　设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，

49、＋

50、＝

51、－

52、，则

53、

54、＝(　　)A．8B．4C．2D．1(2)设向量a＝(0，－1)，向量b＝(cosx，sinx)，则

55、a＋b

56、的取值范围为

57、________．解析：法一：因为2＝16，所以

58、

59、＝4.又

60、－

61、＝

62、

63、＝4，所以

64、＋

65、＝4，因为M为BC的中点，所以＝－.所以＝＋＝＋，所以＝(＋)，所以

66、

67、＝

68、＋

69、＝×4＝2.法二：如图所示，四边形ABDC是平行四边形，又

70、＋

71、＝

72、－

73、，所以

74、

75、＝

76、

77、，所以四边形ABDC是矩形，所以

78、

79、＝

80、

81、，又2＝16，所以

82、

83、＝4，所以

84、

85、＝2.(2)a＝(0，－1)，b＝(cosx，sinx)，所以a＋