2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程综合提升案新人教A版选修1.doc

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1、2-1-1椭圆及其标准方程综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是A.＋＝1　　　　　　B.＋＝1C．x2＋＝1D.＋＝1解析　由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2.∴a2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为＋＝1，故选D.答案　D2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则

2、PF1

3、＋

4、PF2

5、等于A．4　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．10解析　根据椭圆的定义知，

6、PF1

7、＋

8、PF2

9、＝2a＝2×5＝10，故

10、选D.答案　D3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m＞n＞0，所以0＜＜，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立．答案　C4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是A．2B．6C．4D．12解析　由椭圆的方程可得a＝，由椭圆定义可知，△ABC的周长是4a＝4，故选C.答案　C5．已知P为椭圆C上一点，F1，

11、F2为椭圆的焦点，且

12、F1F2

13、＝2，若

14、PF1

15、与

16、PF2

17、的等差中项为

18、F1F2

19、，则椭圆C的标准方程为A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析　由已知2c＝

20、F1F2

21、＝2，∴c＝.∵2a＝

22、PF1

23、＋

24、PF2

25、＝2

26、F1F2

27、＝4，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.答案　B6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于A.B.C.D．4解析　如图所示，由定义可知，

28、PF1

29、＋

30、PF2

31、＝2a＝4，c＝

32、＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得

33、y0

34、＝，即

35、PF1

36、＝，所以S△PF1F2＝

37、PF1

38、·

39、F1F2

40、＝.答案　A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是________．解析　由3kx2＋ky2＝1，得＋＝1.∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，则c＝4，∴a2＝，b2＝，∴c2＝－＝＝16，∴k＝.答案　8．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为___

41、_____．解析　如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案　＋＝19．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________．解析　由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．因为∠F1PF2为直角，所以＝0，即x＋y＝4，①又＋y＝1，②①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.答案

42、　±三、解答题(共35分)10．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E在椭圆C上，且EF1⊥F1F2，

43、EF1

44、＝，

45、EF2

46、＝，求椭圆C的方程．解析　因为点E在椭圆C上，所以2a＝

47、EF1

48、＋

49、EF2

50、＝＋＝6，即a＝3.在Rt△EF1F2中，

51、F1F2

52、＝＝＝2，所以椭圆C的半焦距c＝.因为b＝＝＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.11．(10分)已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF

53、2的面积．解析　(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)．所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为P为椭圆C上任一点，所以

54、PF1

55、＋

56、PF2

57、＝2a＝20.由(1)知c＝6，在△PF1F2中，

58、F1F2

59、＝2c＝12，所以由余弦定理得：

60、F1F2

61、2＝

62、PF1

63、2＋

64、PF2

65、2－2

66、PF1

67、

68、PF2

69、cos，即122＝

70、PF1

71、2＋

72、PF2

73、2－

74、PF1

75、

76、PF2

77、.因为

78、

79、PF1

80、2＋

81、PF2

82、2＝(

83、PF1

84、＋

85、PF2

86、)2－2

87、PF1

88、·

89、PF2

90、，所以122＝(

91、PF1

92、＋

93、PF2

94、)2－3

95、PF1

96、

97、PF2

98、.所以122＝202－3

99、PF1

100、

101、PF2

102、，所以

103、PF1

104、·

105、PF2

106、＝＝＝.S△PF1F2＝

107、PF1

108、·

109、PF2

110、sin＝××