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1、2020版高考数学大一轮精准复习精练3.2 导数的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.导数与函数的单调性1.了解函数单调性和导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2014天津文,19利用导数研究函数的单调性和极值构造新函数、不等式的证明★★★2.导数与函数的极(最)值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次),会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)
2、2016天津,20利用导数研究函数的极值和最值导数的运算、不等式的证明★★★3.导数的综合应用利用导数解决实际问题2018天津,20利用导数解决函数零点问题利用导数研究指数函数、对数函数的性质★★★2014天津,20利用导数研究函数的性质分析解读 函数的单调性是函数的一条重要的性质,也是高中阶段研究的重点.一般分两类考查,一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值以及实际问题中的优化问题等.二是把导数、函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的值(取值范围),常以解答题的形式出现,分值14
3、分,难度较大.破考点【考点集训】考点一 导数与函数的单调性1.已知函数f(x)=+1,则函数f(x)的单调增区间为 . 答案 (-1,1)2.已知函数f(x)=+alnx(a∈R).(1)当a=时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在定义域内不单调,求a的取值范围.解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数f'(x)=-+=.(1)当a=时,因为f'(1)=-+=0,f(1)=,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=.(2)f'(x)=(x>0),设函数f
4、(x)在定义域内不单调时,a的取值集合是A;函数f(x)在定义域内单调时,a的取值集合是B,则A=∁RB.函数f(x)在定义域内单调等价于f'(x)≤0恒成立或f'(x)≥0恒成立,即aex-x≤0恒成立或aex-x≥0恒成立,等价于a≤恒成立或a≥恒成立.令g(x)=(x>0),则g'(x)=,由g'(x)>0得01,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.因为g(1)=,且x>0时,g(x)>0,所以g(x)∈.所以B=,所以A=.考点二 导数与函数的
5、极(最)值3.如图,已知直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点,函数g(x)=kx+m(m>0),则函数F(x)=g(x)-f(x)( )A.有极小值,没有极大值B.有极大值,没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值答案 C 4.已知函数y=f(x)的导函数有且仅有两个零点,其图象如图所示,则函数y=f(x)在x= 处取得极值. 答案 -1考点三 导数的综合应用5.已知函数f(x)=pe-x+x+1(p∈R).(1)当实数p=e时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程
6、;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当p=1时,若直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点,求实数m的取值范围.解析 (1)当p=e时,f(x)=e-x+1+x+1,则f'(x)=-e-x+1+1,∴f(1)=3,f'(1)=0.∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=3.(2)∵f(x)=pe-x+x+1,∴f'(x)=-pe-x+1.①当p≤0时,f'(x)>0,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);②当p>0时,令f'(x)=0,得ex=p,解得x=lnp.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情
7、况如下表:x(-∞,lnp)lnp(lnp,+∞)f'(x)-0+f(x)↘2+lnp↗所以当p>0时,f(x)的单调递增区间为(lnp,+∞),单调递减区间为(-∞,lnp).(3)当p=1时,f(x)=e-x+x+1,直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点等价于关于x的方程mx+1=e-x+x+1在(-∞,+∞)上没有实数解,即关于x的方程(m-1)x=e-x(*)在(-∞,+∞)上没有实数解.①当m=1时,方程(*)化为e-x=0,显然在(-∞,+∞)上没有实数解.②当m≠1时,方程(*)化为xex=,令g(
8、x)=xex,则有g'(x)=(1+x)ex.令g'(x)=0,得x=-1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘-↗当x=-1时,g(x)min=-,当x趋近于+∞时,g(x)趋近于+∞,从而g(x)的值域为.所以当<-,即1-e
