2019高考数学狠抓基础题专题04平面向量理.doc

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1、专题04平面向量1．平面向量的有关概念问题名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作零向量方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为2．平面向量的线性运算(1)应用平行四边形法则与三角形法则

2、进行向量的加法运算与减法运算，注意法则应用的区分，向量共起点时可以使用平行四边形法则；一个向量的终点在另一个向量的起点时，这两个向量的加法则可以使用三角形法则，如.(2)共线向量体现了两个向量在同向或反向的情况下其模的大小的等量关系，通常可表示为，其中，为确定的常数.3．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理反映了如何用平面内两个不共线的向量来唯一线性表示任意向量的原理，数学表达式为，此处要不共线，要唯一确定.通常把不共线的称为一组基底.应该明确基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为基底去表示平面内的任意一个向量.(2)当基底单

3、位正交时（即垂直且模为1），可以建立平面直角坐标系，利用坐标来表示向量，，也可以利用向量的起点、终点坐标的确定来表示向量，如若，则.(3)向量的坐标化线性运算：设，则，；若，则.4．平面向量数量积的运算及其坐标化运算(1)掌握向量数量积运算的定义，理解其几何意义：在方向上的投影：.注意根据向量夹角的变化，其投影可能为负，可能为正，也可能为0.(2)掌握向量的运算法则及相关性质：如；；若，则等，并作简单的应用.(3)掌握向量数量积的坐标化运算：设，则；；若，则；.5．平面向量的应用(1)应用向量考查模的大小或模的取值范围问题，可以从向

4、量坐标化的角度进行处理，注意对模的使用，同时注意对等式含义的表述，如表示向量的终点在以为圆心，半径为的圆上等.也可以利用条件中所呈现的几何意义，结合向量数量积公式进行转化.(2)以向量为载体研究三角函数问题，利用向量数量积的坐标表示，确立三角函数关系式，并利用三角恒等变换化简为的形式，然后利用整体代换来考查函数的相关性质等.一、平面向量的概念及线性运算【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，若，则等于A．a＋bB．a＋bC．a−bD．a−b【答案】A【解析】.故选A．【名师点睛】（1）对于向量的概念

5、问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．（2）平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．【例2】已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】（1）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能

6、得出三点共线．（2）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y=1.二、平面向量基本定理及坐标表示【例3】如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为A．1B．C．D．【答案】D【名师点睛】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【例4】已知向量，若与共线，则A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，得，，因为与共线，则，解得，故选B

7、．【名师点睛】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．三、平面向量的数量积【例5】已知是边长为的等边三角形，点在边上，且，则的值为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．【例6】在平面直角坐标系中，已知点，则向量与的夹

8、角的余弦值为A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，，故的夹角的余弦值为，故选B．【名师点睛】两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要