医学高等数学期末复习.ppt

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1、高等数学期末复习函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性例：y=sinxx∈[-1,2]非奇非偶函数例：y=sinxx∈[-1,1]奇函数【注意】奇偶性是相对于定义域而言的。判断奇偶性时定义域必须关于原点对称。复合函数例.复合的条件是什么？例：设求例.解:它是由以下几个函数复合而成:复合函数的分解P29(3.8)例1(消去零因子法)例2(无穷小因子分出法)P29(3.7/3.10/3.9)例1函数的连续性定义1.设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.则称f(x)在x0连续,x0称为f(x)的连续点.包含的条件：①f(x)在x0处有定义；②f(

2、x)在x0的极限存在；③f(x)在x0的极限值等于f(x)在x0的函数值。例例f(x)在x=0连续.问a为何值时,函数f(x)在x0处连续就一定在在x0处有极限吗？连续与极限的关系√函数f(x)在x0处有极限就一定在在x0处连续吗？×初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意2.初等函数求极限的方法代入法.一、导

3、数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.等价形式：如果改写成：定理.函数在点且可导的充分必要条件是应用情境：主要用于分段函数在分段点处的可导性判断。例二、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)三、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。--------对数求导法

4、适用范围:课本例例解等式两边取对数得极限连续导数极限、连续与可导的关系定理如果函数及都在点具有导数，则(1)(2)(3)微分P68(3.4)二、L’Hospital法则未定式利用这一法则，可以直接求这两种等其它类型的未定式的极限。基本未定式的极限，也可间接求出函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本小节研究:洛必达法则1、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)推论.定理1中换为例1.求2、型未定式存在(或为∞)定理2.(洛必达法则)内容小结洛必达法则令取对数三、单调性与极值步骤:例解2、函数的最值(1).求驻点和不可导点;(2).求区间

5、端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例解得驻点这些点处的函数值为：比较以上各点处的函数值即可。步骤:一元积分学微分不定积分定积分极限导数积分上限函数一、不定积分不定积分的定义：不定积分的计算方法换元法凑微分法三角代换法根式代换不定积分法有理函数积分法例求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.凑微分法：例求解说明当被积函数是三角函数相乘时，如果是偶次项，需要进行降阶处理。三角代换法：三角代换的目的是化掉根式.一般规律

6、如下：当被积函数中含有可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。例求解令例求（三角代换很繁琐）解令倒代换法：当分母的阶较高时,可采用倒代换例求解令根式代换：当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例求解令分部积分公式选择u、v的有效方法:ILAET选择法I----反三角函数；L----对数函数；A----幂函数；E----指数函数；T----三角函数；哪个在前哪个选作u.反、对、幂、指、三角排序在后者优先进入积分号分部积分法一些特殊的极限应用例1：例2：例3：二元函数偏导数的几

7、何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的一元复合函数求导法则一、多元复合函数求导的链式法则4.3.1多元复合函数的求导法则4.3.1、多元复合函数求导法则定理3.若函数处有连续偏导数,则复合函数偏导数，推广:设下面所涉及的函数都可微.1)中间变量是一元函数的情形.例如,2)中间变量多于两个的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,例17.设解:例18.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程

8、变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例19.解:P163(3.1/4.1/4.2).§2.一阶微分