2019-2020年高考数学一轮总复习不等式选讲2证明不等式的基本方法模拟演练理.DOC

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习不等式选讲2证明不等式的基本方法模拟演练理1.[xx·南昌模拟]函数f(x)＝.(1)若a＝5，求函数f(x)的定义域A；(2)设a，b∈(－1,1)，证明：<.解　(1)由

2、x＋1

3、＋

4、x＋2

5、－5≥0，得2x＋8≤0，x≤－2或－4≥0，－2

6、x≤－4或x≥1}．(2)证明：∵<⇔2

7、a＋b

8、<

9、4＋ab

10、.而4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝4a2＋4b2－a2b2－16＝a2(4－b2)＋4(b2－4)＝(b2－4)(4

11、－a2)，∵a，b∈(－1,1)，∴(b2－4)(4－a2)<0，∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，∴<.2.已知定义在R上的函数f(x)＝

12、x－m

13、＋

14、x

15、，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝2，求证：＋≥.解　(1)因为

16、x－m

17、＋

18、x

19、≥

20、(x－m)－x

21、＝

22、m

23、.要使不等式

24、x－m

25、＋

26、x

27、<2有解，则

28、m

29、<2，解得－21，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝2，即α＋β＝2.所以＋＝(α＋β)＝5＋＋≥＝.(当且仅当

30、＝，即α＝，β＝时，等号成立)又因为α，β>1，所以＋>恒成立．故＋≥.3.[xx·大连模拟]已知a>0，b>0，记A＝＋，B＝a＋b.(1)求A－B的最大值；(2)若ab＝4，是否存在a，b，使得A＋B＝6？并说明理由．解　(1)A－B＝－a＋－b＝－2－2＋1≤1，等号在a＝b＝时取得，即A－B的最大值为1.(2)A＋B＝a＋b＋＋≥2＋2，因为ab＝4，所以A＋B≥4＋2>6，所以不存在这样的a，b，使得A＋B＝6.4.[xx·安徽江南十校联考]已知函数f(x)＝

31、x

32、－

33、2x－1

34、，记f(x)>－1的解集为M.(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a

35、＋1与的大小．解　(1)f(x)＝

36、x

37、－

38、2x－1

39、＝由f(x)>－1，得或或解得0

40、00，所以a2－a＋1>.综上所述，当0.5.已知函数f(x)＝ax2＋x－a的定义域为[－1,1]．(1)若f(0)＝f(1)，解不等式

41、f(x)－1

42、

43、a

44、≤1，求证：

45、f(x)

46、≤.解　

47、(1)f(0)＝f(1)，即－a＝a＋1－a，则a＝－1，∴f(x)＝－x2＋x＋1，∴不等式化为

48、－x2＋x

49、<－x＋，①当－1≤x<0时，不等式化为x2－x<－x＋，∴－

50、x

51、≤1，又

52、a

53、≤1，则

54、f(x)

55、＝

56、a(x2－1)＋x

57、≤

58、a(x2－1)

59、＋

60、x

61、≤

62、x2－1

63、＋

64、x

65、＝1－

66、x

67、2＋

68、x

69、＝－2＋≤.6.[xx·衡阳二联]已知函数f(x)＝

70、x－3

71、.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)

72、a的取值范围；(2)若

73、a

74、<1，

75、b

76、<3，且a≠0，判断与f的大小，并说明理由．解　(1)因为f(x－1)＋f(x)＝

77、x－4

78、＋

79、x－3

80、≥

81、x－4＋3－x

82、＝1，不等式f(x－1)＋f(x)f.证明：要证>f，只需证

83、ab－3

84、>

85、b－3a

86、，即证(ab－3)2>(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)·(b2－9)．因为

87、a

88、<1，

89、b

90、<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立.