浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测十一抛物线的简单几何性质新人教A版选修2.doc

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1、课时跟踪检测（十九）抛物线的简单几何性质层级一　学业水平达标1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(　　)A．y2＝－11x　　　　　　　B．y2＝11xC．y2＝－22xD．y2＝22x解析：选C　在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得x＝－，∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C．2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B　可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛

2、物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)解析：选B　设A(x，y)，则y2＝4x，①又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x－x2－y2＝－4．②由①②可解得x＝1，y＝±2．4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)A．2　　　　　　　　B．2C．2D．2解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，

3、y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2．由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．∴

4、AB

5、＝＝＝＝2．5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A．B．C．D．解析：选D　易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．由抛物线的定义可得弦长

6、AB

7、＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin

8、30°＝，所以△OAB的面积S＝

9、AB

10、·d＝．6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2．∴所求点的坐标为(3,2)．答案：(3,2)7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若

11、AB

12、＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知

13、AB

14、＝

15、AF

16、＋

17、BF

18、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即

19、x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为．因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝．答案：8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A－p，p，Bp，p，所以

20、AF

21、＝p，

22、BF

23、＝2p，所以＝．答案：9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P

24、2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2．两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若

25、AF

26、＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知，

27、AF

28、＝x1＋，从而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±2．∴

29、点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．∵直线与抛物线相交于A，B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，∴x1＋x2＝2＋．由抛物线的定义可知，

30、AB

31、＝x1＋x2＋p＝4＋>4．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时

32、AB

33、＝4，∴

34、AB

35、≥4，即线段AB的长的最小值为4．层级二　应试能力达标1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛

36、物线方程是(　　)A．y