多元微积分基础.ppt

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1、高等数学（下）1硕士研究生入学统考数学试卷分为四种：工学：数学一、数学二经济学和管理学：数学三、数学四数学一：高等数学，线性代数，概率论与数理统计数学二：高等数学，线性代数数学三：微积分，线性代数，概率论与数理统计数学四：微积分，线性代数，概率论数学一内容比例：高等数学约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%2第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分及其应用第四节多元复合函数的求导法第五节隐函数的求导公式第六节微分法在几何上的应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其

2、求法3第一节多元函数的基本概念一．区域称为点的去心邻域.若不需要强调邻域半径用表示点的邻域。1.邻域:即称为点的邻域。设为面上一定点,42．区域开集：若点集的点都是内点,则称点集为开集.边界：边界点的全体称为的边界.是平面上一点，若存在设是平面上一个点集,称点为点集的内点。内点：显然内点例如是开集。的边界是圆周：和边界点：称为的边界点.若点的任一邻域内既有属于的点,也有不属于的点,5连通：设是开集，若对内任意两点，都可用包含于内的折线连结起来,则称是连通的。区域或开区域：连通的开集称为区域或开区域..为区域或开区域开

3、区域连同它的边界一起，闭区域：称为闭区域。为闭区域。及D不连通开区域闭区域63.维空间有界的闭区域。例如,无界的开区域。有界点集与无界点集：对于点集若使得与某一定点间的距离则称为有界点集，否则称为无界点集。有界的开区域。无界的闭区域。数轴上：点实数平面上：点空间中：点7设为取定的一个自然数，的全体为维空间。称元有序数组维空间：数称为该点的第个坐标．维空间记为称为维空间中的一个点。维空间中的两点及间的距离为设维空间中点集则为点的邻域。相应的可以定义点集的内点、边界点、区域等概念。8二．多元函数的概念例如：圆柱体的体积长

4、方体的体积类似可定义三元、四元函数，二元以上的函数称为多元函数．记为定义１设是平面上一点集，若对内每一点变量按照一定法则总有确定的值与之对应，则称是变量的二元函数（或点的函数），点集为其定义域．为其自变量，也称为因变量．数集称为该函数的值域。（或）9例１．求下列函数的定义域：解(1)(３)(２)10二元函数的几何意义：在几何上表示空间曲面.如,平面;上半球面;旋转抛物面;上半锥面;11三．多元函数的极限定义2若对当时,恒有成立.记作或设函数在区域内有定义,是的内点或边界点。则称常数当时的极限,为二元函数的极限称为二重

5、极限。注：1、2二元函数的极限概念可以推广到元函数（自己推）。12例2．设求证证对当时,恒有成立,所以取要使分析:只要证对使得当时,成立,13例3．证明证对成立.取所以当时,14例4.讨论是否存在?解极限值与有关，当点沿直线时，趋于点所以不存在．二重极限的存在，时，函数值都接近于注：反之，当以不同方式趋于时，函数值趋于不同的值，则函数的极限不存在。以任何方式趋于是指15例５．求极限解例6．求极限解注：多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则。夹逼准则，重要极限都可以应用于多元函数的极限运算。16四．多元函数的连

6、续性若函数在点处不连续，则称点为的间断点．则称函数若函数内每一点连续，在区域在内连续，或称内的连续函数。是定义３．若则称函数在点处连续．设函数在区域内有定义,是的内点或边界点,且间断点(1)无定义的点17例如，函数间断点为：所以，点是函数的间断点。再如，函数（孤立点）（函数无定义的点）(极限不存在)（曲线）18在有界闭区域上多元连续函数具有性质：性质１（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值。性质２（介值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值。多

7、元初等函数（能用一个式子表示的函数）在其定义区域内连续。设函数为多元初等函数，其定义域为且E为一区域或闭区域，则说明：定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。19例7．求下列极限：解20小结：1.平面点集：邻域、内点、开集、边界点、连通、区域（开区域）、闭区域、有界点集、无界点集、2.多元函数的定义、二元函数的定义3.二重极限的定义，计算4.二元函数的连续性定义、间断点5.有界闭区域上多元连续函数的性质维空间21