多元概念,极限,连续好.ppt

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1、第三章多元函数微分学§3－1多元函数的概念一、多元函数的概念以前我们接触到的函数y=f(x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数y是随着这一个自变量的变化而变化的.我们称为一元函数.如y=sinx,y=x2+3cosx等.所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数.函数y随多个自变量的变化而变化.圆柱体体积V=r2h体积V随r,h的变化而变化.一对数(r,h),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给长方体体积V=xyzV随x,y,z的变化而变化.一组数(x,y,z),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给这些都是多元函数的例子.有二个自变量的称为二元函数.有三个自变量的称为三元函

2、数,…,有n个自变量的称为n元函数.与一元函数类似,我们有二元函数定义设D是xy平面上的一个点集,即DR2,若对任意的点X=(x,y)DR2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的二元实值函数,记作f:DR,X=(x,y)z.称z为点X=(x,y)在f下的像,记作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作X=(x,y)所对应的函数值.称D为函数f的定义域.D在f下的像集f(D)={f(X)

3、XD}称为f的值域.习惯上,称z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称x,y为自变量,z为因变量.比如z=sinx+cosy,z=

4、3x2+ey.注1.一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)D的限制.f(x,y)的表达式,算f(x0,y0)的方法与一元函数类似.另外,若给出了注2.特别,若定义域D是xy面上一条曲线.D:y=g(x).g事实上,xD上的点(x,g(x))=(x,y)z.f=f(x,g(x))成为一元函数.则二元函数z=f(x,y)注2,说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的特殊情形.一元函数是定义在xy面上一条直线(x轴)上的二元函数.类似的,有n元函数定义.设DRn,若对任意的X=(x1,x2,…,xn)DRn,按某个对应规则f,总有唯一确定的实数z

5、与之对应,则称f是定义在D上的n元实值函数.记作f:DR,X=(x1,x2,…,xn)z.并记z=f(X),或z=f(x1,x2,…,xn).定义解:与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例1.求z=ln(x+y)的定义域D,并画出D的图形.x+y>0.故定义域D={(x,y)

6、x+y>0}画直线y1=–x.由于D中点(x,y)的纵坐标y要大于直线y1=–x上点的纵坐标y1,故D表示直线y1=–x上方点的集合.(不包括边界y1=–x上的点)为画D的图形,由x+y>0,得y>–x=(y1).x+y=0xyo如图y>–xD(不包括直线x+y=0)例2.解:故故D表

7、示到原点距离不超过1的点的集合.即,D为单位圆盘(包括圆周).xyox2+y2=1(包括圆周)D二、平面区域1.邻域:以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径的圆内部点的全体称为X0的邻域.即记Û(X0,)=U(X0,){X0},称为X0的去心邻域.如图X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和Û(X0).2.内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域U(X0,)E,则称X0为E的内点.E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0.D={(x,y)

8、x2+y21}如图xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是

9、D的内点.但圆周上的点不是D的内点.x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)

10、x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.即D=D,但直线上的点不是D的内点.3.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若X0的任何邻域U(X0,)内既有属于E的点,又有不属于E的点,则称X0为E的边界点.E的全体边界点所成集合称为E的边界.记作E.如,例1中定义域D的边界是直线x+y=0上点的全体.例2中定义域D的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoE的边界点可以是E中的点,也可以不是E中的点.

11、D4.开集设E是一平面点集,若E中每一点都是E的内点.即EE0,则称E是一个开集.由于总有E0E,因此,EE0E=E0故也可说,比如,例1中D是开集,(D=D0),而例2中D不是开集.若E=E0,则称E是一个开集.规定,,R2为开集.xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E不是开集.结论:非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都不是E的边界点.即E不含有E的边界点.证:必要性.设E为开集,XE,由开