2019高考数学二轮复习专题提能二三角与向量的创新考法与学科素养教案理.doc

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1、2三角与向量的创新考法与学科素养提分策略一　　探究命题情景应用能力就解决新定义问题而言，首先是通过阅读理解题意，把握题目所包括的新的概念、定理或方法的本质，然后分析材料，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理等有效方法解决问题．　(2018·济宁模拟)对于任意两个非零的平面向量m，n，定义m，n之间的新运算：m⊗n＝.已知非零的平面向量a，b满足：a⊗b和b⊗a都在集合{x

2、x＝，k∈Z}中，且

3、a

4、≥

5、b

6、.若a，b的夹角θ∈(，)，则(a⊗b)sinθ＝________.解析：根据题意得a⊗b＝＝＝＝，k1∈Z，b⊗a＝＝＝＝，k2∈Z，所以(a⊗b)·(b⊗

7、a)＝cos2θ＝.因为θ∈(，)，所以＜cos2θ＜，即＜＜，因为k1，k2∈Z，所以k1k2＝2，cos2θ＝，sinθ＝，因为

8、a

9、≥

10、b

11、，所以k1＝2，k2＝1，所以a⊗b＝，(a⊗b)sinθ＝.答案：点评　本题以新定义的形式创设新的命题情景：m⊗n，主要是考查学生探究推理新问题的能力及数学运算素养．[对点训练]在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：①若θ＝60˚，P(2，－1

12、)，则

13、

14、＝；②若P(x1，y1)，Q＝(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)；③若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2；④若θ＝60˚，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0.其中所有正确结论的序号是________．解析：对于①，＝2e1－e2，则

15、

16、2＝(2e1－e2)2＝5－4cosθ＝3，所以

17、

18、＝，故①正确．对于②，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，故②正确．对于③，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)．因为e1

19、·e2≠0，所以·≠x1x2＋y1y2，故③错误．对于④，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为

20、OP

21、＝1，所以(xe1＋ye2)2＝1，所以x2＋y2＋xy－1＝0，故④正确．答案：①②④提分策略二　　引入数学文化题考查数学文化，多从《九章算术》和《数书九章》等中国古代数学名著中挖掘素材．　第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan(θ＋)＝________.解析：依题意得大、小正方形的边长

22、分别是5、1，于是有5sinθ－5cosθ＝1(0＜θ＜)，即有sinθ－cosθ＝.从而(sinθ＋cosθ)2＝2－(sinθ－cosθ)2＝，则sinθ＋cosθ＝，因此sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝，故tan(θ＋)＝＝－7.答案：－7点评　本题以数学家大会会标为背景，引入我国古代数学家赵爽的弦图，既巧妙地考查了三角形全等以及三角函数公式的应用知识，又丰富了弦图的内涵．[对点训练]　《九章算术》是我国古代著名数学经典，书中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用

23、锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(　　)(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5˚≈)A．600立方寸　B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸解析：连接OA，OB，OD，设⊙O的半径为R，则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝＝.∴∠AOD≈22.5˚，即∠AOB≈45˚.故∠AOB≈.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝××132－

24、×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．故选D.答案：D提分策略三　　引入临界知识考学科潜力1．临界法则常用的“临界法则”有：(1)三角函数中的“合一变形”，即asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，其中φ满足cosφ＝，sinφ＝，解决很多三角综合问题都离不开它．(2)射影定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝bcosC＋ccosB，b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.(3)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，