2019高考数学二轮复习专题提能四立体几何中的创新考法与学科素养教案理

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1、4立体几何中的创新考法与学科素养提分策略一　　探究命题情景考应用能力此类问题常以实际生活事例为背景，考查空间几何体的体积或表面积的计算．　一个海滨浴场因业务发展的需要，急需加工一批帐篷，已知帐篷的底是长为4a，宽为2a的长方形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，并且形状为等腰三角形的侧面与底面成60˚的二面角，帐篷的高为a，则每个帐篷所需布料的面积(接口忽略不计)为________．解析：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，作FH⊥AB，垂足为H，作FG⊥底面AC，垂足为G.连MG、HG

2、，则∠FMG为侧面FBC与底面AC所成二面角的平面角，即∠FMG＝60˚.在Rt△FMG中，因FG＝a，则FM＝2a，MG＝a.又HG＝BM＝BC＝a，于是FH＝＝2a，EF＝AB－2MG＝2a.所以，布料总面积S＝2S梯形ABFE＋2S△BCF＝(4a＋2a)×2a＋2a×2a＝16a2.答案：16a2点评　本题通过生活实例中帐篷用料问题考查几何体的表面积的计算，主要考查数学建模与数学运算的学科素养．[对点训练]　一个盛满水的三棱锥容器SABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD∶DA＝S

3、E∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的________倍．解析：设点F到平面SDE的距离为h1，点C到平面SAB的距离为h2，当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多．＝14＝＝··＝××＝.故最多可盛原来水的1－＝(倍)．答案：提分策略二　　探究交汇命题考迁移能力空间几何体常与解析几何、函数、不等式等知识相结合，命制创新交汇问题．　(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值

4、为(　　)A．12　B．18C．24D．54解析：由等边△ABC的面积为9可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6＝18.故选B.答案：B(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，

5、AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA,△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．14解析：如图，连接OD交BC于点G，由题意知，OD⊥BC.易得OG＝BC，设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝＝＝，S△ABC＝×2x×3x＝3x2，故所得三棱锥的体积V＝×3x2×＝x2×＝×.令f(x)＝25x4－10x5，x∈，则f′(x)＝100x3－50x4，令f′

6、(x)＞0，即x4－2x3＜0，得0＜x＜2，则当x∈时，f(x)≤f(2)＝80，∴V≤×＝4.∴所求三棱锥的体积的最大值为4.答案：4点评　1.本例(1)中，所求三棱锥的底面积一定，高取最大值时，体积最大，高的最大值显然是球面上的点到三棱锥底面的最大距离，即为球的半径加上球心到三棱锥底面的距离．2．本例(2)中将V表示为x的函数和用导数求函数最值．[对点训练]　(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)A.B.C.

7、D.解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形14EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin60°＝.故选A.答案：A提分策略三　　引入数学文化

8、考核心素养　(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是(　　)A．a，b　　　　　B．a，cC．c，bD．b，d[思路分析]　观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧