2019高考数学二轮复习 专题提能四 立体几何中的创新考法与学科素养能力训练 理

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1、专题提能四立体几何中的创新考法与学科素养一、选择题1．中国古代数学名著《九章算术》第五章“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示(其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺)，则该几何体的体积为(　　)A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺解析：由三视图可知该几何体是一个水平放置的底面是等腰梯形的四棱柱，其体积V＝×(20＋40)×50×1265＝1897500(立方尺)，故选D.答案：D2．中国古代

2、数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是(　　)A．110B．116C．118D．120解析：如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120.答案：D3

3、.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥PADE为鳖臑，且PA⊥平面ABCE，AD＝AB＝2，ED＝1，若该鳖臑的外接球的表面积为9π，则该阳马的外接球的体积为(　　)A．2πB．3πC．4πD．4π解析：由题意得三棱锥PADE中，ED⊥DA，又PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直径2r＝PE，设PA＝x，则2r＝＝＝，则其外接球的表面积S＝4πr2＝π(x2＋5)＝9π，解得x＝2.阳马——

4、四棱锥PABCD的外接球的直径为PC，即2R＝PC＝＝＝2，所以R＝，故其外接球的体积V＝πR3＝π×()3＝4π，故选D.答案：D4.《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺．问积几何？答曰：四万六千五百尺．”所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的直棱柱．如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为(　　)A．40B．50C．25＋15＋3D．30＋20＋3解析：如图，设A1B1的中点为N，连接MN，BN，则MN∥B

5、C，所以过B，C，M的平面为平面BNMC，所求三棱台为A1MN－ACB，所以其表面积为S△ABC＋S△A1NM＋S梯形AA1MC＋S梯形AA1NB＋S梯形MNBC＝×4×4＋×2×2＋×(2＋4)×5＋×(4＋2)×5＋×(2＋4)×＝25＋15＋3.答案：C5．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加

6、，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为(　　)A.B.C．39D.解析：设下底面的长为x(≤x＜9)，则下底面的宽为＝9－x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故当x＝时，体积取得最大值，最大值为－()2＋×＋＝.故选B.答案：B6．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面正三角形的边长为a，侧棱长为b，且a≥b＞0，点D是四边形BB1C1C的两条对角线的

7、交点，则当直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值取得最小值时，正三棱柱ABCA1B1C1的体积是(　　)A.a3B.a3C.a3D.a3解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE.过点E作EF⊥AB于点F，过点D作DG∥EF交平面ABB1A1于点G，连接AG，FG，AE.易知DE是△BCB1的中位线，所以DE∥BB1.因为平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，EF⊥AB，所以EF⊥平面ABB1A1.又DG∥EF，所以DG⊥平面ABB1A1.则∠DAG是直线AD与侧面ABB1A1所成的角．因为DE∥BB1，DE⊄平面ABB1A1，BB1

8、⊂平面ABB1A1，所以