2019高考数学二轮复习专题提能二三角与向量的创新考法与学科素养能力训练理

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1、专题提能二三角与向量的创新考法与学科素养一、选择题1．定义：

2、a×b

3、＝

4、a

5、

6、b

7、sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若

8、a

9、＝2，

10、b

11、＝5，a·b＝－6，则

12、a×b

13、等于(　　)A．－8　　　B．8C．－8或8D．6解析：由

14、a

15、＝2，

16、b

17、＝5，a·b＝－6，可得2×5cosθ＝－6⇒cosθ＝－.又θ∈[0，π]，所以sinθ＝.从而

18、a×b

19、＝2×5×＝8.答案：B2．已知外接圆半径为R的△ABC的周长为(2＋)R，则sinA＋sinB＋sinC＝(　　)A．1＋B．1＋C.＋D.＋解析：由正弦定理知a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)＝(2＋)R，所以sinA＋

20、sinB＋sinC＝1＋，故选A.答案：A3．设a，b为非零向量，

21、b

22、＝2

23、a

24、，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4

25、a

26、2，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D．0解析：设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a2＋2b2，记为S1，若S的表达式中有2个a·b，则S＝a2＋b2＋2a·b，记为S2，若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.又

27、b

28、＝2

29、a

30、，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝

31、2(a－b)2＞0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2＞0，S2－S3＝(a－b)2＞0，所以S3＜S2＜S1，故Smin＝S3＝4a·b，设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8

32、a

33、2cosθ＝4

34、a

35、2，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.6答案：B4．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90˚，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则

36、＋

37、的最小值为(　　)A．5B．4C．3D．6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以

38、＋3

39、

40、＝(0≤y≤b)．当y＝b时，

41、＋3

42、min＝5.答案：A二、填空题5．(2018·石家庄质检)非零向量m，n的夹角为，且满足

43、n

44、＝λ

45、m

46、(λ＞0)，向量组x1，x2，x3由一个m和两个n排列而成，向量组y1，y2，y3由两个m和一个n排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3所有可能值中的最小值为4m2，则λ＝________.解析：由题意，x1·y1＋x2·y2＋x3·y3的运算结果有以下两种可能：①m2＋m·n＋n2＝m2＋λ

47、m

48、

49、m

50、cos＋λ2m2＝(λ2＋＋1)m2；②m·n＋m·n＋m·n＝3λ

51、m

52、·

53、m

54、cos＝m2.又λ2＋＋1－＝λ2－λ＋1＝(λ－)2＋

55、＞0，所以m2＝4m2，即＝4，解得λ＝.答案：6．定义平面向量的一种运算a⊙b＝

56、a＋b

57、×

58、a－b

59、×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90˚，则a⊙b＝a2＋b2；②若

60、a

61、＝

62、b

63、，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若

64、a

65、＝

66、b

67、，则a⊙b≤2

68、a

69、2；④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a，b〉＝90˚，则a⊙b＝

70、a＋b

71、×

72、a－b

73、＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为

74、a

75、＝

76、b

77、，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90˚，所以(a＋b)⊙(a－b)＝

78、

79、2a

80、×

81、2b

82、＝4

83、a

84、

85、b

86、，所以②不成立；③中，因为

87、a

88、＝

89、b

90、，所以a⊙b＝

91、a＋b

92、×

93、a－b

94、sin〈a，b〉≤

95、a＋b

96、×

97、a－b

98、≤＝2

99、a

100、2，所以③成立；④中，因为a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a＋b)，b〉＝，所以(a＋b)⊙b＝3××＝6，所以④不成立．故真命题的序号是①③.答案：①③7．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．解析：由e1·e1＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，故〈e

101、1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(e1－e2)·＝－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.答案：8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α。β＝.若平面向量a，b满足

102、a

103、≥

104、b

105、＞0，a