2019年高中数学柯西不等式与排序不等式练习试题新人教A版选修4-5.doc

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1、2019年高中数学柯西不等式与排序不等式练习试题新人教A版选修4-51．若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．5B．6C．7D．81．答案：A2．设xy＞0，则的最小值为(　　)A．10B．9C．8D．7答案：B3．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是(　　)A.B.C．2D.答案：B4．设x1，x2，…，xn分别取不同的正整数，则m＝＋＋…＋的最小值是(　　)A．1B．2C．1＋＋＋…＋D．1＋＋＋…＋答案：C5．下列命题正确的是(　

2、　)A.＋≥2成立当且仅当a，b均为正数B．a＋b＋c≥3成立当且仅当a，b，c均为正数C．logab＋logbc＋logca≥3成立当且仅当a，b，c∈(1，＋∞)D.≥2成立当且仅当a≠0答案：D6．若a

3、B8．函数y＝2＋的最大值是______．解析：y＝×＋≤＝.答案：9．边长为a，b，c的三角形，其面积为，外接圆半径为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是______．解析：S△＝＝＝，即abc＝1，∴t＝ab＋bc＋ca，t2＝(ab＋bc＋ca)≥(＋＋)2＝s2，又a，b，c>0，∴s≤t.答案：s≤t10．设a，b，c，d为实数，求证：(a3＋b3＋c3＋d3)2≤4(a6＋b6＋c6＋d6)．证明：由柯西不等式(a3＋b3＋c3＋d3)2≤[(a3)2＋(b3)2＋(c3)2＋

4、(d3)2](12＋12＋12＋12)＝4(a6＋b6＋c6＋d6)．11．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明：由柯西不等式·≥a＋b，即·≥a＋b，同理·≥b＋c，·≥c＋a，由以上三个同向不等式相加，得(＋＋)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥(a＋b＋c)．12．设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：(a1－an＋1)＋＋＋…＋≥n2.证明：因为a1＞a2＞…＞an＞an＋1，所以a1－a2＞0，a2－a3＞0，…，an－an＋1＞0，又因为a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2

5、－a3)＋…＋(an－an＋1)，于是由柯西不等式得(a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an＋1)·＋＋…＋≥·＋·＋…＋·2＝n2.13．设x，y，z为正数，求证：＋＋≤＋＋.证明：不妨设0＜x≤y≤z，则x3≤y3≤z3,0＜≤≤，由排序原理：乱序和≤顺序和，得x3·＋y3·＋z3·≤x3·＋y3·＋z3·，x3·＋y3·＋z3·≤x3·＋y3·＋z3·，将上面两式相加，得＋＋≤2，将不等式两边除以2，得＋＋≤＋＋.