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1、第一章分析基础函数极限—研究对象—研究方法函数、极限、连续函数是微积分学的研究对象，它反映了客观世界变量间的依赖关系；极限作为一种重要的思想方法和研究工具贯穿于微积分学的始终.为了准确而深刻地理解函数概念与极限理论，集合、映射与实数理论的知识是不可缺少的.本章将对中学已学过的集合和映射的知识作简要的复习和必要的补充，并从几何直观来说明实数的完备性.在此基础上，重点讲解数列与函数的极限理论以及连续函数的概念与性质，为学习微积分，以及为今后进一步学习现代数学奠定比较坚实的基础具体内容如下： 第一节.集合、映射与函数;第二节.数列极限;第三节.函数的极限;第四节
2、.无穷小量与无穷大量;第五节.连续函数.第一章二、实数集的完备性和确界原理三、函数一、集合及其运算第一节集合、映射与函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合及其运算1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:集合的元可以是数，也可以是研究的任何对象。简称集简称元集合按元素的个数多少分为：有限集和无限集。(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征例:整数集合或有理数集p与q互质实数集合x为有理数或无理
3、数开区间闭区间2、表示法无限区间点的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:是B的子集,或称B包含A,定义2.则称A若且则称A与B相等,例如,显然有：若设有集合记作记作必有3、集合之间的关系及运算并集交集且差集且定义下列运算:余集乘积特例:记平面上的全体点集.或定义3.给定两个集合A,B,练习p20,44、集合的运算法则法则1设A,B,C为三个任意集合，则下列法则成立：(1)交换律(3)分配律(2)结合律(4)幂等律(5)吸收律若法则2（对偶原理）若X为基本集，A,B是它的两个(1)(2)子集，则注：集合的交与并
4、运算和对偶原理等可推广至有限多个和无穷多个集合的情形。二、实数的完备性和确界存在定理1、实数的重要性质：(1)关于有理运算封闭，即任意两实数做有理运算(加、减、乘、除)后仍为实数；(2)有序性：对任意的两个实数a与b，有且仅有下列关系之一：并且，若则(3)稠密性：任意两实数之间存在另一实数。(4)实数集R是完备的.解释1：完备性是指集合关于极限运算封闭！解释2：实数集R和实数轴上的所有点一一对应.注1：有理数集合封闭、有序、稠密；不完备。注2：完备性是实数的本质属性，是数学分析的建立基础。刻画实数完备性的定理主要有：确界原理、聚点定理、区间套定理等等.2、
5、确界存在定理（确界原理）常用符号“”——对所有的、对任给的；”——存在、有。“定义1.1（集合的有界性）设A为实数集R的非空子集，若则称A有上（下）界，L（l）称为A的一个上界（下界）。若A既有上界又有下界，称A有界；否则，称A无界。注：1.A有界使得有2.有上(下)界的数集的上(下)界有无穷多个。练习1：讨论下列数集的界(1)(2)答案：1、大于1(小于1)的数都是它的上(下)界;2、大于1(小于0)的数都是它的上(下)界。练习2：P20,5题。定义1.2（确界）设若满足：（1）s是A的上(下)界；（2）则称s是A的上(下)确界，记为supA(infA)
6、.练习3：讨论练习1中数集的确界。注：1、确界如果存在，一定唯一；2、上(下)确界和最大(小)值不同;（P21,8题）3、集合无上（下）界，一定无上（下）确界，此时规定：（答案略）定理1.1任一有上（下）界的非空实数集A必有上（下）确界。思考：有上（下）界的有（无）理数集，有上(下)确界么？若有，是否一定是有(无)理数？例:1.答案：1.infA=ln2;supA=1;2.,求两集合的确界.2.infA=;supA=2;某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.三、映射和函数1、映射与函数设X,Y是两个非空集
7、合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注:1)映射的三要素—定义域,对应法则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.定义4.X(数集或点集)在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)f称为X上的泛函X(≠)Xf称为X上的变换Rf称为定义在X上的函数映射又称为算子.名称.例如,说明:对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.例.如图
8、所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射。例.设令则
