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1、计算机图形学曲线和曲面1：曲线、曲面研究的发展过程2：曲线、曲面参数表示的基础知识3：Bézier曲线与曲面1：曲线、曲面研究的发展过程曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们在实体造型技术、几何造型设计中有着广泛的应用。近二十年来，曲线、曲面的发展层出不穷。1963年，波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson)将曲线曲面表示成参数矢量形式；1964年，麻省理工学院(MIT)的孔斯(Coons)用封闭曲线的四条边界定义一块曲面；1964年，舍恩伯格(Schoenberg)提出了参数样条曲线、曲面的定义；1971年，法国雷诺(Ren
2、ault)公司的贝塞尔(Bézier)发明了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；1972年，德布尔(deBoor)给出了B样条的标准计算方法；1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样条曲线、曲面；1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B样条方法；80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；2.曲线、曲面参数表示的基础知识显示、隐式和参数表示；参数曲线的定义及切矢量、曲率；插值、逼近、
3、拟合和光顺；参数曲线的代数形式和几何形式；调和函数；曲线段的连续性定义；2.1显式、隐式和参数表示曲线和曲面均有参数表示和非参数表示之分，在非参数表示中又分为显式表示和隐式表示。显式表示对于一条平面曲线，非参数方程的显式表示一般为y=f(x)。在显式表示中，每一个x值只对应一个y值，所以用显式方程不能表示封闭或多值曲线；隐式表示隐式的非参数方程一般形式为：f(x,y)=0；如二阶隐式方程的一般式可写成：通过定义不同的方程系数a,b,c,d,e,f，即可得到不同的圆锥曲线，如抛物线，双曲线和椭圆等。参数表示在平面曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要
4、表示成一个参数式。如用参数t表示，则曲线上每一点坐标的参数形式是：曲线上一点坐标的矢量表示是：如用`表示对参数的求导，则参数曲线的切矢量或导函数是：yxo显示方式表示的圆弧1.01.0参数方式表示的圆弧yxo1.01.0参数方式表示的圆弧yxo1.01.0参数表示的优点满足几何不变性的要求；有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换；便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算；变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；规格化的参数变量t∈[0,1
5、]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界；易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算；2.2参数曲线的定义及切矢量、曲率一条用参数表示的三维曲线是一个有界的点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：位置矢量：该曲线的端点在t=0和t=1处，曲线上任何一点的位置矢量可用矢量p(t)表示：切矢量选择弧长s作为参数，则是单位切矢量；根据弧长微分公式，有所以，单位切矢量为：yxoP0P1QRΔPΔC曲率设以弧长c为参数，弧RQ的弯曲程度一方面与ΔØ的大小有关，一方面又与弧长ΔC有关；我们用ΔØ与ΔC比的绝对值来度量弧RQ的
6、弯曲程度，称为弧RQ的平均曲率；当Q点趋近于R点时，曲线在R点的曲率为：曲率半径RQT(c)T(c+Δc)ΔcΔØT(c)T(c+Δc)2.3插值、逼近、拟合和光顺(1)：插值插值是函数逼近的重要方法。给定函数f(x)在区间[a,b]中互异的n个点f(xi)i=1,2,…n，基于这个列表数据，寻找某一个函数k(x)去逼近f(x)。若要求k(x)在xi处与f(xi)相等，就称这样的函数逼近问题为插值问题，称k(x)为f(x)的插值函数，xi称为插值节点。也就是说，k(x)在n个插值节点xi处与f(xi)相等，而在别处就用k(x)近似的代替f(x)。在曲
7、线曲面中最常用到的是线性插值和抛物线插值。线性插值给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，y1=f(x1)，y2=f(x2)，现要求用一线性函数：y=k(x)=ax+b，近似替代y=f(x)。x1yoxx2y2y1y=f(x)y=k(x)线性插值选择线性函数的系数a,b，使得k(x1)=y1，k(x2)=y2，称k(x)为f(x)的线性插值函数；Q01srtP00xP01P10Q11抛物线插值抛物线插值又称为二次插值。设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，现构造函数，使k(x)在节点xi处与f(x)相等。根据x1,
8、x2,x3求出a,b,c，便构造了k(x)插值函数。xx1x3x2y1y1y1oyy=f(x)y=k(x)(
