4 有界线性算子与线性算子的基本定理g.ppt

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1、第四章有界线性算子有界线性算子与线性算子空间有界线性泛函与共轭空间微积分主要研究对象—函数R到R的映射—一元函数Rn到R的映射—n元函数泛函分析主要研究对象线性算子—线性空间到线性空间的映射非线性算子—一般空间到一般空间的映射算子泛函线性泛函—线性空间到R的映射非线性泛函—一般空间到R的映射线性算子空间—有界线性算子集合+算子线性运算+算子范数=线性赋范空间共轭空间—有界线性泛函集合+泛函线性运算+泛函范数=巴拿赫空间一、有界线性算子的定义与性质1有界线性算子的定义定义1设X是线性赋范空间,DX是线性子空间,映射T:DY.(1)T是线性算子x1,x2D及数K,

2、有T(x1+x2)=Tx1+Tx2T(x)=Tx(2)T是连续算子xn,xD,n=1,2,…,xnx,有TxnTxx,x0D,xx0,有TxTx0;T在D上处处连续(3)T是有界算子xD,M>0,使

3、

4、Tx

5、

6、M

7、

8、x

9、

10、X(4)T是有界线性算子T既是有界算子,又是线性算子(5)T是连续线性算子T既是连续算子,又是线性算子注:1)定义中,D-算子T的定义域;M-算子T的界值;T(D)={Tx

11、xD}-算子T的值域2）有界算子与有界函数不同,例如f(x)=x无界函数有界算子:

12、f(x)

13、=

14、x

15、<2

16、x

17、2有界线性算子的性质定理1设X

18、,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T:DY是线性算子,则(1)T为有界算子AD为有界集时,T(A)={Tx

19、xA}Y也是有界集AD为有界集时,xA,K>0,使得

20、

21、Tx

22、

23、K.(2)T为连续算子T在x0D处连续T在D上处处连续证(1)“”设T:DY是线性、有界算子，AD为有界集M>0,使得

24、

25、Tx

26、

27、M

28、

29、x

30、

31、;且K>0,使得

32、

33、x

34、

35、KxAD,TxT(A)Y

36、

37、Tx

38、

39、M

40、

41、x

42、

43、MK；T(A)Y是有界集“”设T:DY是线性算子,且对AD为有界集,有T(A)={Tx

44、xA}Y也是有界

45、集对单位球面S={x

46、

47、

48、x

49、

50、=1,xD}D(是有界集),有T(S)={Tx

51、xS}为有界集xS,有TxTS,且M>0,使

52、

53、Tx

54、

55、M(3)T为连续算子T为有界算子.xD,x,有xD,x,有当x=D时,有

56、

57、Tx

58、

59、=M

60、

61、x

62、

63、=因此xD,有

64、

65、Tx

66、

67、M

68、

69、x

70、

71、，即T为有界线性算子.(2)“”设T:DY是线性、连续算子xn,xD,xnx,有TxnTxT在D上处处连续(定义）“”xn,xD,xnx,T是线性算子，且T在x0D处连续(xn-x)+x0D,且(xn-x)+x0x0T[

72、(xn-x)+x0]Tx0（T在x0处连续定义）Txn=Txn-Tx+Tx0=T[(xn-x)+x0]Tx0(线性算子定义）T是线性、连续算子“”若T:DY是线性、有界算子,xD,M>0,使得

73、

74、Tx

75、

76、M

77、

78、x

79、

80、（有界算子定义）xn,xDX,M>0,使得

81、

82、Txn-Tx

83、

84、=

85、

86、T(xn-x)

87、

88、M

89、

90、xn-x

91、

92、（线性、有界算子定义）xn,xDX,xnx

93、

94、xn-x

95、

96、0(n)(按范数收敛)

97、

98、Txn-Tx

99、

100、0TxnTx(n)T是线性、连续算子.(3)“”设T:DY是线性、连续算子.如果T是线性、无

101、界算子对n,xnD,xn,使得

102、

103、Txn

104、

105、n

106、

107、xn

108、

109、,n=1,2,…对于由于T是线性、连续算子矛盾。故T是线性有界算子推论：T为连续线性算子T为有界线性算子.3有界线性算子的范数定义2设X,Y是线性赋范空间，DX是线性子空间,T:DY是有界线性算子,则称

110、

111、T

112、

113、=inf{M

114、

115、

116、Tx

117、

118、YM

119、

120、x

121、

122、X,xD}为算子T的范数定理2设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T:DY是有界线性算子，则T的范数具有下列性质：(1)

123、

124、Tx

125、

126、

127、

128、T

129、

130、

131、

132、x

133、

134、,xD(即

135、

136、T

137、

138、是有界线性算子T的最小界值定义）(2)（可作为范数定义

139、）证4算子的延拓定义3设X,Y是线性赋范空间,D1D2X是线性子空间,T1:D1Y,T2:D2Y是两个有界线性算子,且当xD1时,T1x=T2x,则称算子T2是T1的延拓。结论：算子延拓后,新算子的范数大于或等于原来算子的范数。事实上，5有界线性算子及其范数举例例1设X是线性赋范空间,则X上的相似算子T:XX,Tx=x,是有界线性算子。事实上，x1,x2X,1,2R,T(1x1+2x2)=(1x1+2x2)=1x1+2x2=Tx1+Tx2;

140、

141、Tx

142、

143、=

144、

145、