实函授课件(测度).ppt

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1、第三章测度论复习提问:1、勒贝格测度公理是：R1的点集E的测度m，m(E)满足那三条性质？（1）非负：m(E)≥0，（2）可列可加：如果E1，E2…En…两两不相交，那么m(E1∪E2∪…∪En…)=m(E1)+m(E2)+…+m(En)+…（3）正则性：m([a,b])=b–a设E为Rn中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间∪IiE,作出它的体积总和μ=∑

2、Ii

3、,(μ可以是+∞.)所有一切的μ组成下方有界的数集，它的下确界称为E的L外测度,并记为m*E,有m*E=2、勒贝格外测度的定义3、外测度的基本性质定理1（P55）集E，有（1）非负性：m*E≥0,m*()=0;（2）单

4、调性：若E1∈E2,则m*E1≤m*E2;（3）次可加性：4、几个例子例1设E为[0，1]中的全体有理数，则m*E=0.例2可数点集的外测度为0。证明（1）已知单点集的外测度为0。(2)设A是可数点集，且A={a1,a2…an…}=∪{an}由外测度性质，得0≤m*A=m*(∪{an})≤∑m*{an}=0所以，m*A=0.证毕。例3Cantor集合外测度为0。证明设C是Cantor集，P是[0，1]上C的余集，即是构造C时每次去掉的开区间，有P=[0，1]C第二节可测集（P57）一、可测集定义的说明Lebesgue当初首先引入外测度m*与内测度m*,然后通过条件m*A=m*

5、A定义可测集，这沿循了面积计算的外切多边形与内接多边形的思想，是直观上最容易被接受的方法，但循此方法建立的理论并不是最简洁的，而且缺少推广的价值。因而被Caratheodory(卡拉泰奥多里)的导入法所取代。Caratheodory给出的可测条件为：m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CT)（P59—（3））称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。这一定义初看起来是不自然的，但事实证明它是迄今为止最简捷的可测集的导入法，在学习讨论可测集相关性质等问题时，常用此进行定理的证明。在L积分理论问题中，很少需要去准确算出某个集合的测度，更重要的问题往往是判定某个集合是否为零测度集合。1

6、、关于“卡拉泰奥多里”定义外测度m*:(1)Rn中任意集合E都有外测度m*E；（2）m*E仅成立次可加性，不成立测度公理要求的可数可加性。—P57，有互不相交的Ei,使m*（∪Ei）＜∑（m*Ei）即：Rn上集合E的外测度m*E不能代替测度mE.研究的问题：Rn中哪些类集合外测度m*满足测度m的可数可加性？即成立m*（∪Ei）=∑（m*Ei）（P58—（1））a.先设想满足测度公理要求可数可加性的集合类μ,μ中的集合作可数并运算、交运算、差运算及补运算是封闭的,μ包含了Rn中所有有限开区间，由测度公理也包含了Rn。若E∈μ,由Rn、任意开区间I∈μ,及运算的封闭性有：(I∩E)

7、∈μ,(I∩CE)∈μ又(I∩E)∩(I∩CE)=Φ,I=(I∩E)∪(I∩CE)由（1）式，成立：m*I=m*(I∩E)+m*(I∩CT)（P58—（2））b、反之，由上述推证过程知，如果存在某个开区间I，使（2）式不成立，则E不应该属于μ.由上面a.、b论述，对于Rn中点集E是否满足测度m的可数可加性，我们可以用（2）式是否成立来判断。C、更一般地，可以证明，（2）式中的区间I换成任意点集T，结论成立，P59—引理，即Rn中点集E是否满足测度m的可数可加性，可以用（3）式——(卡拉泰奥多里条件)是否成立来判断。m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CT)(任意T)（P59—（3

8、））一、可测集的定义（P60）定义1设E是Rn给定点集，如果对任一点集T，有m*T=m*(T∩E)+m*(T∩CE)则称E是L可测集，这时E的L外测度又称为E的L测度，记为mE。注1定义1给出的可测集定义，不区分E的有界、无界，也不讨论E的内、外测度，只要对任意点集T等式成立，则E是L可测集。有的实变函数教材取此定义作为E可测的充要条件。在对可测集性质与结构的论证中，更多地使用该定义。注2定义1给出的可测集定义，与Lebesgue首先引入外测度m*与内测度m*,然后通过条件m*A=m*A定义可测集是等价的。（P60—注，P321—附录一）三、可则集合的性质定理2E可测的充分必要

9、条件是cE可测。证明：任意T，m*T=m*(T∩E)+m*(T∩cE)=m*(T∩c(cE))+m*(T∩cE)定理证毕。