2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后导练新人教A版选修.doc

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1、2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后导练新人教A版选修基础达标1已知a,b,m,n∈R+,且m+n=1,设T=,Q=,则()A.T>QB.T≥QC.Tb>c,则与的大小关系是()A.>B.≥C.b>c,∴a-b,a-c,b-c>0.由于()(a-c)=［()2+()2］［()2+()2］≥(1+

2、1)2=4,∴()(a-c)≥4.∴≥.答案:B4用柯西不等式证明()2≤.证明:∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2,即2(a2+b2)≥(a+b)2,两边同除以4,即得()2≤.50

3、ax+by

4、

5、≤1.证明:1=(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,∴

6、ax+by

7、≤1.8已知a,b,c,d,x,y均为正数,且x2=a2+b2,y2=c2+d2,求证:xy≥.证明:x2y2=(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,∴xy≥ac+bd.①又x2y2=(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,∴xy≥ad+bc.②①×②得x2y2≥(ac+bd)(ad+bc),即xy≥.9设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+)2+(b+)2≥(用柯西不等式证明).证明:(12+12)［(a+)2+(b+)2］≥［(a+)+(b+)］2=［1+(

8、+)］2=(1+)2≥25(∵ab≤),∴(a+)2+(b+)2≥.拓展探究10求使直线xcosθ+ysinθ=2和椭圆x2+3y2=6有公共点的θ的取值范围(0≤θ≤π).解析:由柯西不等式22=(xcosθ+ysinθ)2=(x·cosθ+y·sinθ)2≤(x2+3y2)(cos2θ+sin2θ)=6cos2θ+2sin2θ.解得cos2θ≥,即cosθ≥或cosθ≤.因为0≤θ≤π,所以0≤θ≤或≤θ≤π.备选习题11a,b,c∈R+,且acos2θ+bsin2θ

9、θ·sinθ≤.12已知x,y∈R,且3x2+2y2≤6,求证:

10、2x+y

11、≤.证明:(2x+y)2=(·x+·y)2≤(+)(3x2+2y2)≤×6=11,∴

12、2x+y

13、≤.13设α∈(0,),求证:(1+)(1+)≥(1+2n)2.证明:∵α∈(0,),故sin2nα≠0,cos2nα≠0,sin2α>0,由柯西不等式(1+)(1+)≥(1+)2=(1+)2≥(1+2n)2.14双曲线9x2-16y2=r2(r>0)与直线x+y=2有公共点,求r的取值范围.解析:要使直线与曲线有公共点,由柯西不等式x2=(2-y)2=［·r+(-)·4y］2≤(+)(r2+1

14、6y2)=(+)·9x2.消去非零x,整理得r2≤.由r>0,那么0

15、.答案:D