2019-2020年高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程成长训练新人教A版选修4-4.doc

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1、2019-2020年高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程成长训练新人教A版选修4-4夯基达标1.已知点P(),若点P的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R,下列点中与点P重合的是(　　)A.B.C.D.解析:当-π≤θ≤π时,ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外,点极坐标分别为唯一.当ρ∈R时,一个点的极坐标只有两个形式:(-,-)或(2,).答案:D2.圆ρ=2(cosθ+sinθ)的圆心的坐标是(　　)A.(1,)B.()C.()D.(2,)解析:圆的方程可化为ρ=2cos(θ-).这是ρ=2rcos(θ-θ0)形式,它的圆心为O′(r,θ0),本题也可化为直角坐

2、标方程求解.答案:A3.极坐标系中,方程ρ=cosθ(θ∈［0,π］,ρ∈R)表示的曲线是(　　)A.以(,0)为圆心,半径为的上半个圆B.以(,0)为圆心,半径为的圆C.以(1,0)为圆心,半径为的上半个圆D.以(,)为圆心,半径为的圆解析:当ρ≥0时,θ∈［0,］,方程ρ=cosθ表示上半个圆,半径为,当ρ≤0时,θ∈［,π］,方程表示下半个圆,半径为.答案:B4.方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是(　　)A.K≠0B.K∈RC.

3、K

4、>2D.

5、K

6、≤2解析:当ρ=0时,sinθ+cosθ=-K,若此方程无解,由

7、sinθ+

8、cosθ

9、≤,∴当

10、K

11、>2时,方程无解.答案:C5.在极坐标系中,点P(2,)到直线ρsin(θ-)=1的距离等于(　　)A.1B.2C.3D.1+3解法一:∵xP=2cos=,yP=2sin=-1,∴P点的直角坐标为(,-1).又直线ρsin(θ-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0.∴P点到直线的距离为d=

12、--·-1

13、=1+.解法二:直线ρsin(θ-)=1与直线θ=平行,且距离为1.过P点作PH垂直于直线ρsin(θ-)=1,垂足为H,设PH交直线θ=于M,在Rt△POM中,OP=2,∠POM=.∴PM=2sin=.故P点到直线ρsin(

14、θ-)=1的距离为1+.答案:D6.点M在直线ρcosθ=a(a>0)上,O为极点,延长OM到P使

15、MP

16、=b(b>0),则P的轨迹方程是________.解析:设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则ρ0cosθ0=a,ρ=ρ0+b,θ0=θ代入即可.答案:(ρ-b)cosθ=a7.画出极坐标方程(θ-)ρ+(-θ)sinθ=0的图形.解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.解:如图,将原方程分解因式得(θ-)(ρ-sinθ)=0,∴θ-=0,即θ=为一条射线

17、,或ρ-sinθ=0为一个圆.8.证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来.解:设M(ρ,θ)为直线AB上一点,如图,∵S△AOB=ρ1ρ2sin(θ2-θ1),S△AOM=ρρ1sin(θ-θ1),S△BOM=ρρ2sin(θ2-θ),又S△AOB=S△AOM+S△BOM,∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ),即9.已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4

18、,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB中点M的轨迹方程.解:设M(ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则有∴(2ρ-2)cosθ=4ρ=2secθ+1.10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知

19、OP

20、·

21、OM

22、=1，求P点的极坐标方程.解析:先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.解:如图,以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0

23、cosθ+4ρ0sinθ-1=0.又,知代入2cosθ+4sinθ-1=0,∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).11.从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.解析:在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.解法一:如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=

24、OC

25、=4,连结CM.∵M为弦ON的中点,∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.所以,动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题.