《正弦函数、余弦函数的性质》.ppt

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1、1.4.2正弦函数余弦函数的性质正、余弦函数图像特征：---11--1在函数的图象上，起关键作用的点有：最高点：最低点：与x轴的交点：注意：函数图像的凹凸性！知识回顾:----11--1在函数的图象上，起关键作用的点有：最高点：最低点：与x轴的交点：注意：函数图像的凹凸性！余弦函数图像特征：x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)一、正弦、余弦函数的周期性一、周期函数的概念思考1：观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现..y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-

2、4π-5π-6π-πy=sinx2π诱导公式其理论依据是什么？当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律思考2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？f(x+2kπ)=f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期(其中k∈z且k≠0).思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，

3、都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？答：周期函数的周期不止一个.±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.今后本书中所

4、涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？例如：f(x)=c(c为常数）否【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π思考6：我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有，那

5、么最小正周期T等于多少？正弦函数y=sinx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期T=2π．余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是周期，最小正周期T=2π．思考7：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx例1求下列函数的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;∴3cos(x+2π)=∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π【解】⑴∵y=cosx的同期为2π3cosx⑵y=sin2

6、x,x∈R;∵sin2(x+π)=∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为πsin2xsin(2x+2π)=解：⑶y=2sin(-),x∈R;∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π解：由上例知函数y=3cosx的周期T=2π；函数y=sin2x的周期T=π；函数y=2sin(-)的周期T=4π想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？若则归纳总结一般地，函数及（其中为常数，且）的周期是练习.求下列函数的周期：二.奇偶性为奇函数为偶函数三.定义域和值域正弦函数定义域：R值域：[-1，1]余弦函数定义域：R值域：[-1，1]探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：当时，有最大值最

7、小值：当时，有最小值四.最值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：当时，有最大值最小值：当时，有最小值x6o--12345-2-3-41y当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当四、正弦、余弦函数的最值x6yo--12345-2-3-41五、正弦函数的单调性y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至1xyo--1234-2-31xsinx…0………-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1？？？[+