2018-2019学年高中数学课时跟踪检测十三用数学归纳法证明不等式举例含解析新人教A版选修4-5.doc

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1、课时跟踪检测（十三）用数学归纳法证明不等式举例1．下列四个判断中，正确的是(　　)A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时恒为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时恒为1＋kC．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)，当n＝1时恒为1＋＋D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋解析：选C　选项A中，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2　　　

2、　　　　　B．3C．5D．6解析：选C　令n0分别取2,3,4,5,6，依次验证即得．3．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析：选C　如果n＝4时命题成立，那么由题设，n＝5时命题也成立．上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是如果n＝5时命题不成立，那么n＝4时命题也不成立．原命题成立，它的逆否命题一定成立．4．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算

3、得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述记录，可推测出一般结论(　　)A．f(2n)＞　　　　　　B．f(n2)≥C．f(2n)≥D．以上都不对解析：选C　f(2)＝，f(4)＝f(22)＞2＝，f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，f(32)＝f(25)＞，所以f(2n)≥.5．证明<1＋＋＋…＋1)，当n＝2时，要证明的式子为________．解析：当n＝2时，要证明的式子为2<1＋＋＋<3.答案：2<1＋＋＋<36．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目

4、标不等式是__________________．解析：假设n＝k时，不等式成立，即＋＋…＋＞－，则当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＞－＋，下面只需证明－＋＞－即可．答案：－＋＞－7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝______________.解析：f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，f(2k)＝1＋＋＋…＋，所以f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.答案：＋＋…＋8．用数学归纳法证明，对任意n∈N＋，有(1＋2＋…＋n)≥n2.证明：(1)当n＝1时，左边＝右边，不等式成立．当n＝2时，左边＝(

5、1＋2)＝>22，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k)≥k2.则当n＝k＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]＋＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)·＋(k＋1)×＋1≥k2＋＋1＋(k＋1).∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*)∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.这就是说当n＝k＋1时，不等成立．由(1)(2)可知当n≥1时，不等式成立．9．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项

6、公式的正确性．解：(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1＞0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－(a2＞0)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N＋)．(2)证明：①由(1)知，当n＝1时，通项公式成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时，通项公式成立，即ak＝－.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式，整理得a＋2ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝－，即n＝k＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n∈N＋，an＝－都成立．10．设数列{an}满足an＋1

7、＝a－nan＋1，n＝1,2,3….(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明．①当n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，当n＝k＋1时．ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是说，当n＝k