17 偏微分方程的有限差分法.ppt

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1、偏微分方程有限差分法简介1一建立离散方程的方法(Discretizationoftheheatequation)1.有限差分法(finite-differencemethods)1)、网格划分(Nodalnetwork/grid/mesh)把物体分割为有限数目的网格单元，将微分方程变换为差分方程，通过数值计算直接求取各网格单元节点的温度。2)、节点(Nodes)网格线的交点3)、基本原理(fundamentaltheory)利用有限差商代替微商，从而将微分方程转化为差分。例如：232、向后差分式(backward-difference)1).一阶截断公式2).中心差分式(central-dif

2、ference)属于二阶截断公式，比一阶公式精确。43).二阶导数的中心差分(Centraldifference)同理5二、热传导问题的数值计算1、二维稳态导热式中表示节点(i,j)所在网格单元的内热源强度。若无内热源，且网格划分均匀，则62、边界节点方程式的建立(Boundarynodeequations)第一类边界条件：边界节点温度已知；第二类或第三类边界条件：热平衡关系边界节点方程。如图4-3：第三类边界条件：边界节点温度离散方程如下：73、节点方程组的求解设有n个未知节点，则可得n个线性方程式84、非稳态导热问题的数值计算1）.计算格式910或上式称为显式差分格式。整理得112）.稳定

3、性条件(StabilityCriterion)为了加快计算的进程而调整x和的大小时，必须遵守使上式中tik的系数大于或至少等于零。即二维非稳态导热均匀网格的显式差分格式，稳定性条件为：12133）.隐式差分格式（Theimplicitmethod)（Backwarddifference）（Centraldifference）Notethat：Theimplicitformulationisunconditionallystable(隐式差分格式是无条件稳定的)代入微分方程得，14u(x,t)canbedeterminedfrominitialconditionsu(x,0)=f(x)at

4、t=0.t=0t=t1t=t2t=t3三、PureConvection问题的数值计算HotfluidColdfluidT=100ºCT=0ºCDiffusionsettozerok=0Ex.AccuracyandfalsediffusionConsidertheproblembelow.Ifthereisnofalsediffusion,thetemperaturewillbeexactly100ºCeverywhereabovethediagonalandexactly0ºCeverywherebelowthediagonal.Falsediffusionwilloccurduetotheo

5、bliqueflowdirectionandnon-zerogradientoftemperatureinthedirectionnormaltotheflow.8x864x64First-orderUpwindSecond-orderUpwindAccuracyandfalsediffusionSeismogramDispersion