偏微分方程的有限差分法

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HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn1/75第四章偏微分方程的有限差分法4.1有限差分法原理4.2热传导方程的差分解法4.3波动方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn2/754.1有限差分法原理抛物线形双曲型椭圆形不可逆过程可逆过程平衡过程热传导方程波动方程位势方程物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分为以下三类：上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn3/754.1有限差分法原理有限差分解法差分近似代替微分，差商近似代替微商这样就把求解区域内连续分布函数离散化成求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可以求解离散节点上的函数值。数学基础泰勒（Taylor）展开 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn4/754.1有限差分法原理差商公式的构造利用泰勒级数展开定义差商 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn5/754.1有限差分法原理误差为O(h)差商公式：一阶向前差商：一阶向后差商： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn6/754.1有限差分法原理二阶向前差商：式(2)-式(1)X2误差为O(h2)差商公式： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn7/754.1有限差分法原理二阶向后差商:式(2)-式(1)X2 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn8/754.1有限差分法原理一阶向前差商： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn9/754.1有限差分法原理一阶向后差商： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn10/754.1有限差分法原理一阶中心差商： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn11/754.1有限差分法原理二阶中心差商： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn12/754.1有限差分法原理差分格式的收敛性和稳定性收敛性：稳定性：当步长h−→0时，差分方程的解趋向于微分方程的解。误差在运算过程中不会失控，即累计误差不会无限增加。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn13/754.1有限差分法原理从数学上讲，没有限制的微分方程会有无穷多个解，不能构成一个定解问题。从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物理过程的具体特征。因此，要想解决实际的物理问题，必须知道一个连续体或物理场的初始状态和边界受到的外界影响。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn14/754.1有限差分法原理初始条件：与时间相联系边界条件：边界受到外界的影响偏微分方程的定解条件常见的物理问题可以归结为三大类边界条件 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn15/754.1有限差分法原理2第二类边界条件（诺依曼Neumann）1第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）热传导问题：边界Г上温度分布已知热传导问题：通过边界Г单位面积上的热流量已知n表示Γ的外法线q0定义在Γ上的已知函数 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn16/754.1有限差分法原理由热力学傅立叶定律得：热流量：单位面积上的热流量：K:热传导系数单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn17/754.1有限差分法原理3第三类边界条件（洛平Robin）热传导问题：边界表面Г与外界之间的热量交换已知a0,b0.c0定义在Γ上的已知函数外界温度为u0，热交换规律遵循热传导实验定律：单位时间内，从边界单位面积传递给周围的热流量正比于边界表面和外界的温度差。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn18/754.1有限差分法原理对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的，可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合，甚至不能用这三类边界条件描述。α：热交换系数u：边界温度单位面积上的热流量： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn19/754.2热传导方程的差分解法物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统称为热传导方程。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn20/754.2热传导方程的差分解法一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初始条件。定解条件：边界条件和初始条件。定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。4.2.1一维热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn21/754.2热传导方程的差分解法对于一维热传导问题（第一类边界条件）数值解就是在求解区域中某些离散点（xi,ti）上求出u(xi,ti)足够近似的解。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn22/754.2热传导方程的差分解法1把求解区域离散化（确定离散点）Tl HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn23/754.2热传导方程的差分解法2推导差分递推公式在节点（xi,tk）上二阶向前差商O(h2) HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn24/754.2热传导方程的差分解法同样，在节点（xi,tk）上一阶向前差商O(h) HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn25/754.2热传导方程的差分解法一维热传导方程可以近似为令O(h) HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn26/754.2热传导方程的差分解法初始条件边界条件 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn27/754.2热传导方程的差分解法一维热传导方程显示差分递推公式为 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn28/754.2热传导方程的差分解法显示差分递推公式的稳定性：对于一维热传导方程，差分格式为稳定差分格式的充分条件是即 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn29/754.2热传导方程的差分解法为了提高数值解的精度，必须减小τ相应就要变小，这必然增加计算量。这就是显示差分格式的缺点，但它的优点是计算简单。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn30/754.2热传导方程的差分解法差分格式计算步骤：⒈给定⒉计算⒊计算初始值：计算边界值：⒋用差分格式计算 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn31/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn32/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn33/754.2热传导方程的差分解法X=diag(v,k)若v为n个元素向量，返回一个阶数为n+abs(k)的方阵X，将v作为X的第k个对角元，k=0代表主对角元，k>0表示在主对角元之上，k<0表示在主对角元以下。v=ones(1,5);X1=diag(v)X2=diag(v,1)X3=diag(v,-1) HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn34/754.2热传导方程的差分解法（1-2*α）*diag(ones(1,N-1))+α*（diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1)） HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn35/754.2热传导方程的差分解法例4.2.1求热传导方程混合问题 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn36/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn37/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn38/759.24.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn39/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn40/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn41/754.2热传导方程的差分解法二维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：初始条件：边界条件：？4.2.2二维热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn42/754.2热传导方程的差分解法同一维类似，把求解区域离散化 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn43/754.2热传导方程的差分解法在节点（xi,yj,tk）上 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn44/754.2热传导方程的差分解法在节点（xi,yj,tk）上 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn45/754.2热传导方程的差分解法二维热传导方程可以近似为令 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn46/754.2热传导方程的差分解法差分递推公式为 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn47/754.2热传导方程的差分解法边界条件：一、右图中阴影部分为绝热壁，此绝热壁可以用第二类边界条件描述，即热流量为零。第二类边界条件：通过边界表面单位面积上的热流量已知 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn48/754.2热传导方程的差分解法差分近似为 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn49/754.2热传导方程的差分解法递推公式为： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn50/754.2热传导方程的差分解法二、i=0边界，M1≤j≤M2区域为与高温恒温热源相连接的口，温度可取归一化值1。j=0和j=M边界与低温恒温热源相连，温度始终为0。 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn51/754.2热传导方程的差分解法二维热传导方程显示差分递推公式为 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn52/754.2热传导方程的差分解法稳定差分格式的充分条件是即 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn53/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn54/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn55/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn56/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn57/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn58/754.2热传导方程的差分解法view(az,el)az:方位角el:仰角view(0,90)view(-37.5,30） HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn59/754.2热传导方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn60/754.3波动方程的差分解法一维均匀弦线的自由振动方程：波动方程的差分解法也利用构造网格节点的方法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn61/754.3波动方程的差分解法用二阶中心差分近似方法得： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn62/754.3波动方程的差分解法代入波动方程得：令： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn63/754.3波动方程的差分解法边界条件初始条件 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn64/754.3波动方程的差分解法a初始条件：对于初始时刻速度，也须用差分格式给出： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn65/754.3波动方程的差分解法a1向前差分：误差： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn66/754.3波动方程的差分解法a2中心差分：由得（k=0）+ HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn67/754.3波动方程的差分解法误差：整理得： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn68/754.3波动方程的差分解法b边界条件：一维波动方程的差分格式有如下两种 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn69/754.3波动方程的差分解法第一种：误差： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn70/754.3波动方程的差分解法第二种：误差： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn71/754.3波动方程的差分解法第二种差分格式精度要高于第一种，是经常采用的方法。理论上可以证明，两种差分格式稳定条件是： HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn72/754.3波动方程的差分解法波动方程差分格式的计算步骤如下：;⒉计算;⒊计算;⒋计算初值和边值;⒈给定⒌计算 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn73/754.3波动方程的差分解法例：计算下列一维波动方程 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn74/754.3波动方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn75/754.3波动方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn76/754.3波动方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn77/754.3波动方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn78/754.3波动方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn79/754.3波动方程的差分解法 HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn80/75上机4编程计算下列一维扩散方程的解要求：1推导差分递推公式2图形显示计算结果，并与解析解比较。ax-t-u三维曲线bt=00.51时刻x-u曲线cx=0.5处t-u曲线