09电动力学学时05-06.ppt

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1、第一章矢量分析05~06常用坐标系矢量分析基础矢量场的通量——散度矢量场的环流——旋度标量场的梯度亥姆霍兹定理1第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度1、线元矢量、矢量的线积分和环流线元矢量：矢量场中的有向路径上，每段线元为线元矢量，方向沿该点切向指向路径的方向。矢量的线积分：在整个路径上矢量和线元矢量的标量积的叠加05~062第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度1、线元矢量、矢量的线积分和环流环流的定义：在场矢量空间中，取一有向闭合路径C，则称沿C积分的结果称为矢量沿C的环流。即：05~063第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度1、线元矢量、矢量的线积分和环流环流的意义：矢量场环流为零，矢量场无

2、涡漩流动(无旋场)；反之，则矢量场存在涡漩运动。反映矢量场漩涡源分布情况。05~064第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度2、矢量的旋度环流面密度：在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，定义点M处沿方向的环量面密度M05~065第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度2、矢量的旋度矢量的旋度：矢量的旋度是围绕空间某点M取任意面元S得到环量面密度值最大的一个面元相应的一个矢量，。旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值M05~066第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度2、矢量的旋度三点说明：1)矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2)矢量在

3、空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；3)矢量旋度的散度恒等于零。05~067第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度2、矢量的旋度数学表达式：05~068第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度2、矢量的旋度数学表达式：05~069第一章矢量分析四、矢量的环流—旋度3、斯托克斯定理意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。4、例题05~0610第一章矢量分析五、标量场的梯度05~061、标量的方向导数定义：给定标量函数的方向导数是其在指定点沿某一指定方向对距离的变化率。11第一章矢量分析五、标量场的梯度05~061、标量的方向导数直角坐标系中的数学表达式

4、：可用偏导数和方向余弦表示出来。12第一章矢量分析五、标量场的梯度05~061、标量的方向导数说明：13第一章矢量分析五、标量场的梯度05~062、标量的梯度(Gradient)定义：为垂直于等值面(线)的方向。标量函数变化率最大的方向，方向导数为梯度在该方向上的投影。1)标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)标量场的梯度表征标量场变化规律：方向为标量场增加最快的方向，幅度表示标量场的最大增加率。14第一章矢量分析五、标量场的梯度05~063、梯度的计算直角坐标系：方向导数是梯度在该方向上的投影标量场的梯度恒等于零。15第一章矢量分析五、标量场的梯度05~063、梯度的计算圆柱坐标

5、系：球面坐标系：16第一章矢量分析五、标量场的梯度05~063、梯度的计算例题：1.4.2；1.5.1；1.5.217第一章矢量分析六、亥姆霍兹定理05~061、亥姆霍兹定理在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。18第一章矢量分析六、亥姆霍兹定理05~062、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1)调和场若矢量场在某区域V内，处处有：则在该区域V内，场为调和场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。19第一章矢量分析六、亥姆霍兹定理05~062、矢量场的分类2)有源无旋场

6、若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为有源无旋场。a)ρ为矢量场通量源密度；b)有源无旋场为保守场。保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。20第一章矢量分析六、亥姆霍兹定理05~062、矢量场的分类3)无源有旋场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场。为矢量场漩涡源密度。21第一章矢量分析六、亥姆霍兹定理05~062、矢量场的分类4)有源有旋场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场有无源有旋场。为矢量场漩涡源密度。22第一章矢量分析六、亥姆霍兹定理05~

7、062、矢量场的分类4)有源有旋场有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：23第一章矢量分析六、亥姆霍兹定理05~063、亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义研究电磁场的一条主线。已知矢量的通量源密度矢量的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度场域边界条件(矢量唯一地确定)24第一章矢量分析05~06本章结束语主要内容小结其他准备知识25习题1.1、1.6、1.8、1.9证明：A2.2式1.2、1.3