_无阻尼自由振动.ppt

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1、第十一章高等结构动力学无阻尼自由振动§11.1振动频率分析§11.2振型分析§11.3振动分析的柔度法§11.4轴向力的影响§11.5正交条件第十一章无阻尼自由振动§11.2振型分析运动方程可写为（11-8）（11-9）其中§11.2振型分析§11.2振型分析（11-10）因此，是刚度矩阵减去；由于它与频率有关，所以每一个振型是不同的，振动的形状可以按照任何一个坐标所表示的各点的位移来确定。为此假定位移向量的第一个元素是一个单位幅值，即§11.2振型分析展开式(11-8)得（11-11a）§11.2振型分析（11-11b）（11-12）（11-13）求解得出位移幅值（11-14）从

2、而及§11.2振型分析N个振型形式所组成的方阵为：（11-15）（11-16）第n振型形式：§11.2振型分析利用式(11-14)求图E11-1所示结构的振型来说明振型分析的方法,在例E11-1中结出了这个结构的振动矩阵,取该矩阵的第二和第三行,式(11-14)可写成§11.2振型分析图E11-2图E11-1框架的振动特性§11.2振型分析振型2振型1该体系的三个振型计算如下:§11.2振型分析振型3其中各振型假定顶层质量的位移为1。§11.3振动分析的柔度法式(11-4)转化为柔度矩阵为：频率方程为：（11-17）（11-18）仿照式(11-6)计算方程的根。两种解法唯一的区别是

3、(11-18)的根为频率平方的倒数而不是频率平方。§11.3振动分析的柔度法§11.4轴向力的影响自由振动：（11-19）（11-20）分析振型和频率时只须将组合刚度矩阵代替弹性刚度矩阵。体系在轴向力作用下减小了结构的有效刚度，振型频率也降低。频率方程变为：§11.4轴向力的影响§11.4轴向力的影响屈曲荷载（11-21）（11-22）（11-23）§11.4轴向力的影响把式(11-22)代入(11-21)得特征方程：（11-25）（11-24）在下述条件下能得出这组方程的非零解：§11.4轴向力的影响简谐振动的屈曲假定有如下形式的荷载向量:（11-27）在此情形中,无阻尼运动方程

4、变成:（11-26）§11.4轴向力的影响（11-28b）由此,将作用荷载的频率发生稳态反应:加速度变成:（11-28a）§11.4轴向力的影响把式(11-28)代入(11-27)得（11-30a）用表示体系的动力刚度把它代入(11-29),并用表示几何刚度,导出（11-30b）（11-29）§11.4轴向力的影响求解条件:当作用的荷载允许为零时,式(11-30b)可写成(11-31)(11-32)§11.5正交条件基本条件利用Betti定律证明，例如图11-1所示，考虑一个结构体系的两个不同振型。§11.5正交条件图11-1振型形式和产生的惯性力§11.5正交条件(11-33)其

5、中右面表示施加的荷载向量，左面表示弹性抗力。由Betti定律得把（11-33）代入得(11-34)体系自由振动时的运动方程§11.5正交条件考虑矩阵的乘积的转置和m的对称性，上式改写为(11-35)在振型频率不同的情况下得出第一个正交条件，对质量正交。(11-36)§11.5正交条件用前乘式（11-33）直接导出第二个正交条件(11-37)即对于无量纲振型则正交条件表示为(11-38a)(11-38b)对等号右面应用式（11-36）时，显然有§11.5正交条件附加关系式此式前乘导出由（11-38b）得到(11-39)(11-40)在式（11-33）中用连乘法直接推导附加正交关系式。

6、§11.5正交条件此式（11-39）两边前乘，导出(11-41)由（11-40）得到由（11-39）前乘以得到第二组的第一个附加关系式§11.5正交条件整理得到(11-42)同理可以得出很多类似关系式。所以包括两个基本关系式在内的完整的二族正交关系式间接的可以写成（11-44）。(11-43)由（11-39）前乘以，得出(11-44)§11.5正交条件规格化(11-45)(11-46)(11-47)定义：如果一个自由度的幅值取1，并以这个指定的值为基准确定其他自由度的位移，这就叫做关于特定坐标的振型规格化。规格化需要满足的条件利用一个标量因子来实现规格化计算。标量因子规格化计算§1

7、1.5正交条件(11-48)由这种类型的和规格化和与质量矩阵相关的振型正交化公式（11-38b）可以得出此种方法得出关于只来那个矩阵的正交规格化振型。§11.5正交条件例题E11-3通过例题E11-2中算得的振型力说明振型正交性和正交规格化方法。规格化因子其值为§11.5正交条件正交规格化的振型矩阵最后按（11-48）做乘法得§11.5正交条件关于刚度的定义刚度/弹性刚度几何刚度联合刚度动力刚度广义刚度