第2章_单自由度系统-22无阻尼自由振动ppt课件.ppt

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1、单自由度系统自由振动第二章2021/8/221《振动力学》教学内容单自由度系统自由振动引言无阻尼自由振动阻尼自由振动单自由度系统的简谐强迫振动简谐强迫振动理论的应用22.1引言2021/8/223《振动力学》mkmmh0l/2l/2x静平衡位置4mxcel=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfzxfkcmx05为了完全确定系统在给定时刻的状态所需要独立坐标的个数，只需一个独立坐标就能确定结构的位置。可以用常系数的二阶线性常微分方程来描述它的运动规律单自由度系统的振动理论和方法是多自由度系统和连续体系统振动理论和方法的基础。只有一个自由度的振动系统成为单自由度系统。

2、62.2单自由度系统自由振动2021/8/227《振动力学》固有振动或自由振动微分方程：令：单位：弧度/秒（rad/s）则：通解：固有频率复习：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动令算得本征值导出本征方程零时刻的初始条件：零初始条件下的自由振动：8建立单自由度系统自由振动的运动微分方程的一般步骤：1、取定一个坐标系以描述系统的运动，原点为静平衡时质量所在位置2、设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体的受力简图3、按牛顿第二定律写出运动微分方程，，在振动分析中，通常把系统组成元件作用在质量上的力，即系统的内力写在方程左边，外界激励写在右边。第2章单自由度系

3、统2.2无阻尼自由振动4、确定系统初始的运动状态，即初始条件，2.2.1运动微分方程9例1：提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度重物以的速度均匀下降求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。Wv第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动10重物的运动微分方程为：系统的固有频率：方程的解：系统的初始条件：将初始条件代入解中，有：得：第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动11振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：动张力几乎是静张力的一半由于为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度Wv第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动1

4、2例2：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程。m300重力加速度取9.8第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动13解：以质量静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下方向建立坐标系。系统的运动微分方程：m300振动固有频率：方程的解：第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动14振动初始条件：考虑方向初始速度：运动方程：m300将初始条件代入解中，有：第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动15例3：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置。扭振固有频率为轴

5、的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩由刚体定轴转动微分方程：第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动16例4：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量重心C求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率。a0C第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动17解：由刚体定轴转动微分方程：因为微振动：则有：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：a0C第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动18无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能ET和势能U之和保持不变，始终等于初始时刻的总机械能。第2

6、章单自由度系统2.2无阻尼自由振动19结论：◆单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅和初相位取决于初始条件和系统的刚度和质量，运动的中点就是系统的静平衡位置◆振动的频率只与系统的刚度和质量有关。通常称为系统的固有频率◆与成正比，而与成反比。因此当系统的质量不变而刚度增加时，系统的固有频率增大。◆振动得以维持的原因是系统由储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件，由于不考虑能量耗散、无阻尼自由振动时机械能守恒，机械能的大小取决于初始条件和系统参数。振动时动能、势能不断相互转换，因此势能有一个最小值，使势能最小值的位置正是系统的静平衡位置。系统由稳定的平衡位置，其动能和势能

7、可以相互转化，在外界的激励下，才能产生振动。振动总是在平衡位置附近进行。第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动202.2.2求固有频率的方法1.静态位移法mk系统静止时，在重力作用下弹簧伸长，根据胡克定律，有第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动21例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长L，抗弯刚度EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度。mh0l/2l/2第2章单自由度系统2.2无阻尼自由振动22解：由材料力学：自由振动频率为：取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系。静变形mh0l/2l/2x静平衡位置第2章