高等数学方明亮版课件1.7 无穷小的比较.ppt

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1、第七节无穷小的比较第一章为什么要研究“无穷小的比较”？（老师解释）本节内容提要：一、无穷小的比较的定义二、无穷小的比较的性质及应用三、本节小结及思考练习7/17/20211若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作定义一、无穷小的比较7/17/20212～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～且例如,当7/17/20213时,～证:～例1证明:当7/17/20214二、等价无穷小的性质及应用

2、～定理1～证:即即例如,～～故7/17/20215且存在,则证:定理2（等价无穷小替换定理）设应用举例：习题1－73（1）定理37/17/20216～～常用等价无穷小:～～～～～～～例2求解:7/17/20217例3求解:原式等价无穷小代换只使用于因式乘积的整体代换，而对于代数和中各无穷小不能分别替换.特别注意：7/17/20218例4求解当时，，，所以7/17/20219解:例5求当时，所以，事实上，我们有以下补充规则（书上没有的）：设对同一变化过程,,为无穷小,由等价无穷小的性质,可得简化某些极限运算的下述规则.（1）和差

3、取大规则:若=o(),例如,7/17/202110例如,（2）和差代替规则:（3）因式代替规则:界,则例如,7/17/202111内容小结1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小7/17/202112～～～～～常用等价无穷小:Th22.等价无穷小替换定理课后练习习题1-723（偶数题）47/17/202113思考与练习解:不能．例当时,都是无穷小量.但不存在且不为无穷大.1、任何两个无穷小都可以比较吗？故当时,7/17

4、/202114解2、课本习题1－73（7）和差取大规则7/17/2021153、当时,若与是等价无穷小，解依题意有，因为，，试求故则课本习题1－747/17/202116考研真题2001.II（A）1（B）2（C）3（D）4提示：故选（B）7/17/202117