第三章(1)量子力学中的力学量.ppt

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1、第三章量子力学中的力学量微观粒子具有波粒二象性与经典物理的粒子概念不同需要不同的描述方式——波函数描述状态算符描述力学量第1节表示力学量的算符算符：代表运算函数—>函数例如，微分、积分、复数共扼、xψ(用一个函数乘另外函数)…例如定态薛定谔方程动量和坐标算符（前面已引入）经典物理中力学量对应的算符1)相当普遍（x,p状态）2)厄米性3)自旋、同位旋、等，怎么办?例如本征值方程：本征函数本征值第1节表示力学量的算符续定理厄米算符的本征值为实数容易证明坐标算符和动量算符都是是厄米算符（见书p56).取量子力学基本假定：体系处于力学

2、量算符的本征态时，该力学量有确定值，就是该力学量算符本征态对应的本征值。上章已经知道：体系处于动量算符本征态时，系统的动量有确定值，就是动量算符的本征值。处于能量算符(哈密顿量)本征态(定态)时，系统的能量有确定值——能量本征值。推广之厄米算符：力学量的数值是实数要求力学量算符的本征值应该是实数。因此要求：力学量算符是(线性)厄米算符线性：叠加原理，说明干涉衍射等由厄米算符的定义得第2节动量算符和角动量算符——求解本征值方程容易得到方程的解1、动量本征值方程在三维情况下它满足“归一化”条件公式上述解都成立——连续谱而且解也不能

3、满足满足归一化条件=>没有严格意义上的自由粒子有时希望解决：1、不能归一化2、连续谱——箱归一化第2节动量算符和角动量算符——求解本征值方程动量本征函数1、动量本征值方程——箱归一化满足箱归一化条件箱归一化周期性边界条件连续谱=>分立谱动量本征函数第2节动量算符和角动量算符——求解本征值方程角动量平方算符2、角动量算符球坐标结果(推导见后，或略去)注意因单位矢量是坐标的函数求的共同本征函数为什么不是求的共同本征函数？角动量算符角动量平方算符球坐标结果角动量算符第2节动量算符和角动量算符2、角动量算符求的共同本征函数单值性要求令

4、该方程是数学物理中的标准方程。结论是：P是非零有限函数的条件是——Legendre多项式第2节动量算符和角动量算符2、角动量算符最后结果的共同本征函数Y称为球谐函数归一化常数的状态分别成为s,p,d,f态——Legendre多项式本征值正交归一化条件习题(p1013.5题+1问)求刚性转子的定态能量及波函数。哈密顿量分别是1)2)3)简并度第3节氢原子1、预备知识——两体问题转化为单体问题引入质心和相对坐标系无耦合！相互作用势能原子核电子能量(哈密顿量)质心动量相对动量总质量约化质量或折合质量能量(哈密顿量)质心运动是质量为M

5、的自由粒子的运动相对运动是质量为μ的粒子在外场中的运动量子力学也是如此！定态薛定谔方程可变成第3节氢原子2、预备知识——三维问题转化为一维问题定态薛定谔方程折合质量由于势能只是距离的函数—与方向无关=>可分离变量球坐标系中其中离心势能3)s态是基态结论1)离心势能的引入—与经典力学非常类似2)3维可解（势能V(r)）1维可解（势能)第3节氢原子势能氢原子问题决定定态能量的方程是=>简化E>0时为非束缚态——对应连续谱考虑E<0—束缚态令求容许能量转化为求容许n=>第3节氢原子不满足波函数有限的要求令Kummer'sdiffe

6、rentialequation其2个独立解都称为Kummerfunction只有解F才可能满足波函数有限的条件缔合Laguerre多项式第3节氢原子氢原子问题波函数E>0时为非束缚态——对应连续谱E<0—束缚态能量波尔半径径向波函数归一化常数主量子数角量子数磁量子数简并度共同本征函数第3节氢原子概率分布角向概率分布径向—角向独立s,p,d,f,…,态角向分布径向分布图略，见书p75图20例题1求基态氢原子的最可几半径或注意第3节氢原子——例题氢原子波函数总磁矩例题2p100-1013.3-3.4题求氢原子中电子的电流密度和相应

7、的磁矩和回磁比几率流密度矢量电流密度矢量定态时变为电流环的磁矩环围绕面积环电流环的体积=>电流环的磁矩轨道回转磁比率第3节氢原子——例题量子理论的标识常数例题3氢原子的典型物理量——量纲分析相对论的标识常数质点运动非相对论描述的条件或动能<<静能精细结构常数电磁耦合强度能级精细结构（相对论修正）氢原子典型速度电离能非相对论描述氢原子典型能量氢原子典型角动量电子相关典型长度氢原子典型线度Compton波长相对论、量子理论非相对论量子理论电子经典半径相对论经典理论第3节氢原子——例题例题4简单常数代换氢原子中所有结果中类氢原子Π介

8、子原子、电子空穴对、等等氢原子中所有结果中介质中氢原子半导体施主、受主能级量级（还要考虑有效质量修正）引力“原子”2个中子氢原子中所有结果中引力太微弱！第3节氢原子——例题例题5一维氢原子三维氢原子结果2度简并偶奇例题6二维氢原子例题6碱金属原子——原子实+价电子零级近似就是