第二章 静态电磁场-静电场1-5.ppt

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1、2.1基本方程与场的特性1．静态电磁场(微分形式）B=0D=B=0D=可见，在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系，可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。由于此时电场或磁场的源量与场量都不随时间变化，故统称为静态电磁场。2．静态电磁场(积分形式）2.1.1静电场的基本方程D=其媒质的构成方程为:D=E微分形式:积分形式:显然，静电场是有散(有源)、无旋场。2.1.2静电场的有散性(高斯定理)在真空中，高斯定理:其微分形式为：上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点▽E>0，则

2、>0(正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在处；若某点▽E<0，则<0(负电荷)，电力线从周围向该点汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽E=0，则=0(无电荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该点，因此该点不存在场源。▽E<0，<0图2-1散度与场源的关系▽E>0，>0▽E=0，=0例2-1已知真空中半径为a的球形空间内分布有呈球对称形态的电荷，它在其球形分布区域内外产生的空间电场分布分别为和。试求该电荷分布。解：根据高斯定理，并按题设场强E的分布特征，应在球坐标系中展开散

3、度表达式（见附录二）。因题设，故有：2.1.3静电场的无旋性这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其电力线不是闭合曲线。图电场力作功与路径无关对右图闭合曲线作曲线积分，并应用斯托克斯定理，得：即表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于起点和终点的位置。例2-2试求由例2-1所给定的该静电场的旋度。解：利用球坐标系中旋度表达式（见附录二）。由于电场强度E(r)仅有Er分量，且Er与坐标变量θ、φ无关，因此在整个场空间中应有显然，这是静电场无旋性的必然结果。2.2自由空间中的电场2.2.1电位函数的引入因为

4、E=0，由矢量恒等式()=0，E(r)可以表示为:式中，称为标量函数(r)为静电场的标量电位函数，简称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度E等于该点电位梯度的负值。另外，由亥姆霍兹定理，有：式中R=

5、rr

6、=[(xx)2+(yy)2+(zz)2]1/2由静电场的基本方程，得：A(r)=0显然，亥姆霍兹定理再次证实了。由E求的关系式将电荷q由P点移到Q点时，电场力所作的功为：由梯度和方向导数的关系，上式改写为：因此如取Q点为电位参考点，则P点的电位定义为：工程应用中，常取大地

7、表面为电位参考点，而在理论分析时，任意点P的电位可设为：2．电位函数的表达式点电荷：线电荷：面电荷：体电荷：3．电场强度的表达式因为代入前式，得点电荷：线电荷：面电荷：体电荷：对于具有对称结构的静电场问题，可以利用高斯定理求解电场强度。如处于坐标原点的点电荷产生的电场。因此写成矢量形式对于无界自由空间的点电荷系统，应用叠加原理，合成的电场强度为：思路二：先求电场强度，再利用，求电位。思路一：先求电位，再利用，求电场强度。4．电位和电场强度的求解思路例2-3：真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为的电荷，如图所

8、示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。图有限长直线电荷沿方向的电场[解]：采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，原点置于线段l的中点。利用变量代换z=tg，dz=sec2d，代入上式，最终解得式中，。相当于电量为l的点电荷产生的电场。如果>>1，这可以视为无限长直的线电荷，此时，则讨论：如果<<1，这意味着或者l很小或者很大，此时，则显然，这正是高斯定理给出的结果。例2-4：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为[解]：由高斯定理，当ra时当r>a时，设无限远处为

9、电位参考点，当ra时当r>a时，基于位函数的分析若场源为n个点电荷，应用叠加原理，任一场点(r)处的电位为：例2-5设真空中电荷在半径为a的圆盘形平面域中均匀分布，其电荷面密度分布函数为σ。试求：（1）与该均匀带电园盘形平面相垂直的轴线上的电位分布；（2）轴线上的电场强度解：典型的圆环状电荷上的元电荷在轴线上任一场点P处引起的元电位为：所以：（2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：（2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：图电偶极子例2-6求电偶极子产生的空间电场强度与电位分

10、布。[解]：定义电偶极矩p(简称电矩，即p=qd，d为正负电荷间的距离，且规定d的方向由负电荷指向正电荷)表征其特性。在电介质中的场与电磁波辐射场等问题的分析中，电偶极子作为基本激励单元具有实际应用价值。仅考虑r>>d的情况，现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，z轴与d相重。应用叠加原理，任意点的电位为当r很大时，r1、r2和r三者将近乎平行，此时r2