第1章电磁波.ppt

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1、第1章矢量分析矢量代数1.1矢量场的散度1.2矢量场的旋度1.3标量场的梯度1.4亥姆霍兹定理1.5常用坐标系1.6如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间的数学函数来描述。标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。见书P1页空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。例如,在直角坐标

2、下,标量场如温度场,电位场,高度场等;矢量场如速度场,电场、磁场等.空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。1.1矢量代数矢量既有大小，又有方向。矢量A可以表示为A=eAA，其中A表示矢量A的大小，eA表示矢量A的方向。A=exAx+eyAy+ezAz(1.1)由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应三个标量场。1.1.1矢量的加法和减法两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别相加，它们的和还是一个矢量。如图1.1(b)所示。A+B=ex(A

3、x+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4)两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5)图1.1矢量加减法1.1.2标量与矢量相乘标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未变，大小改变了k倍，kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz(1.6)1.1.3矢量的点积矢量A与矢量B的点积，写成A·B，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ余弦

4、的乘积，如图1.2所示，表示为A·B=ABcosθ(1.7a)A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1.7b)图1.2点积的图示1.1.4矢量的叉积矢量A矢量B的叉积，写成A×B，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ正弦的乘积，其方向垂直于矢量A与矢量B组成的平面(符合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为A×B=enABsinθ(1.8a)图1.3叉积的图示及右手螺旋exeyezA×B=AxAyAz(1.8c)BxByAz例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7

5、,求:（1）A·B;(2)A与B的夹角;(3)A×B。解（1）A·B=AxBx+AyBy+AzBz=3×2+4+4+2×7=36(2)A·B36cosθ==≈0.80AB32+42+2222+42+72(3)exeyezA×B=AxAyAzBxByAz=ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)+ez(3×4－4×2)=ex20－ey17+ez41.2矢量场的散度1.2.1矢量场的矢量线矢量场A可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量

6、场的方向，如图1.4（a）所示。图1.4矢量场的矢量线图矢量线性质：线上任一点P的切向就是该点上场矢量A(P)的方向。1.2.2矢量场的通量矢量场的通量即为垂直于矢量场的单位表面矢量线所穿过的数目。面元矢量dS定义为dS=endS(1.12)图1.5矢量的通量图n的取向有两种情形：一种是面元dS为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en取闭合面的外法线方向。通量矢量场的通量若S为闭合曲面定义矢量A沿有向

7、曲面S的面积分为矢量A沿有向曲面S的通量如果要知道矢量场A的面S内的源，只需要计算通量散度的定义：设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为。当体积以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即1.2.3矢量场的散度(1.16)于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为(1.17)为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为(1.18)(1.19)例１.２　已知矢量场求：（1）（2）计算通量　　　　　。积分

8、区域为闭合面Ｓ，Ｓ为一个球心在原点、半径为的球面。解（1）（2）的方向与　　的方向相同，所以有：散度的物理意义散度代表矢量场的通量源的分布特性•A=0(无源）•A=0(负源)•A=0(正源)在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称