实变函数第二章测度论答案.pdf

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1、第2章测度论（习题及参考解答）11.证明：有理数全体是中可测集，且测度为0.1证(1)先证单点集的测度为0.∀∈x，令E={x}.∀ε>0,∀n∈`εεεI=(x−,x+)nn+1n+122∞∞∞∞εεε因为m*E=inf{∑

2、In

3、∪In⊃E，In为开区间}≤∑

4、

5、In=∑=ε.故m*E=n=1n=1n=1n=12n0.所以,E可测且mE=0.1（2）再证：中全体有理数全体_测度为0.∞1设{r}是中全体有理数，∀n∈`，令E={r}.则{E}是两两不相交的可测集nn=1nnn列，由可测的可加性有：∞∞∞mm*(_∪==E

6、nn)∑mE=∑0=0n=1nn==11∞εεε法二：设_={}r，∀∈n`，令I=(r−,r+)，其中ε是预先给定的nn=1nnn+1nn+122与n无关的正常数，则：∞∞∞∞()εεmI*i_∪=⊃nf{∑∑

7、ni

8、I_}≤

9、Ii

10、=∑n=εni==11i=1i=12由ε得任意性，m*0_=.n2.证明：若E是有界集，则m*E<+∞.n证若E是有界.则∃常数M>0，使∀x=(x,x,"x)∈E，有12nnn22E=∑(xi−0)=∑xi≤Mi=1i=1n即∀i(1≤i

11、1nnn所以,m*E≤m*∏[xi−M,xi+M]≤∑2M=(2M)<+∞i=1i=13.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？n解不能.事实上，设E⊂，E中有一个内点x=(x,"x)∈E.∃δ>0,使得1nnδδO(x,δ)=∏(xi−,xi+)⊂Ei=122nδδn则,m*E≥m*[∏(xi−,xi+)]=δ>0.所以m*E≠0.i=1224.在[a,b]上能否作一个测度为b−a，但又异于[a,b]的闭集？解不能习题及参考解答▉▉事实上，如果有闭集F⊂[a,b]使得mF=b−a.不失一般性，可设a∈F且b∈F.事实上，若a∉

12、F，则可作F*={a}∪F，F*⊂[a,b].且mF*=m{a}+mF=mF.这样，我们可记F*为新的F，从而[a,b]−F=(a,b)−F=(a,b)−F∩(a,b).如果[a,b]−F≠∅，即∃x∈[a,b]−F=(a,b)−F，而(a,b)−F是开集，故x是[a,b]−F的一个内点，由3题，m*([a,b]−F)=m([a,b]−F)=m(a,b)−mF≠0.这与mF=b−a矛盾.故不存在闭集F⊂[a,b]且mF=b−a5.若将§1定理6中条件"m(∪E)<∞"去掉，等式∀m(limE)

13、→∞成立？解：§1定理6中条件"m(∪E)<∞"是不可去掉的.nn≥k0∞事实上，∀∈n`，令E−[n−1,n)，则{E}是两两不相交的可测集列，由习题一nnn=1得15题：limE=limE=∅.故m(limE)=0，但∀n∈`，mE=m[n−1,n)=1.nnnnn→∞n→∞n→∞所以，limmE=1.从而limmE≠m(limE).nnnn→∞n→∞n→∞6.设E，E,"是[0,1)中具有下述性质的可测集列：∀ε>0，∃k∈`使mE>1−ε，12k∞证明：m(∪E)=1ii=1证事实上，∀ε>0，因为∃k∈`，mE>1−ε.即

14、，k∞1≥m[0,1]≥m(∪E)≥mE>1−εiki=17.证明：对任意可测集A,B，下式恒成立.m(A∪B)+m(A∩B)=mA+mB证由于A∪B=(A∪B−A)∪A且(A∪B−A)∩A=∅.故,mA()∪B=mA(∪B−+A)mA.即m(A∪B)−mA=m(A∪B−A)=m(B−A)又因为B=(B−A)∪(B∩A).且(B−A)∩(B∩A)=∅，所以mB=mB()−A+mB()∩A.故m(A∪B)−mA=mB−m(A∩B)，从而m(A∪B)+m(A∩B)=mA+mB8.设是A，A是[0,1]中的两个可测集且满足mA+mA>1，

15、证明：m(A∩A)>0.121212证因为m(A∪A)+m(A∩A)=mA+mA，且m(A∪A)≤m([0,1])=1.所以12121212m(A∩A)=mA+mA−m(A∪A)≥mA+mA−1>0121212129.设A，A，A是[0,1]中的两个可测集，且mA+mA+mA>2，证明：123123m(A∩A∩A)>0123证因为，mA()∪∪AA+m[(A∪A)∩A]123123=mA(∪A)+mA1232习题及参考解答▉▉=mA()+mA()+−mA()mA(∩A)12312所以，mA(∩∪A)+m[(AA∩A)]12123=m

16、A()++mA()mA()−mA(∪∪AA)123123又因为m[(A∩A)∪(A∩A)∪(A∩A)]122331=m[(A∩A)∪(A∪A∩A)]12123=m(A∩A)+m[(A∪A∩A)]−m[(A∩A)∩[(A∪A∩A)]12