3、xn}中3点．+∞由闭区间套定理，唯一存在ξ∈I[an,bn]⊂[a,b]={x1,x2,L,xn,L}．故ξ=xn．0n=1而由(3)知，xn0∉[an,bn](n≥n0)．矛盾．由于(a,b)～R，记R=(a,b)=[a,b]=ℵ（连续统势）．S表示无理数集，据P25例1.19知，S=SUQ=R=ℵ．结果：00)．Open问题：是否存在介于ℵ与ℵ之间的势？0∞实数列全体可表示为R={(x1,x2，L，xn,L)xn∈R}．n∞R={(x,x，L，x)x∈R}～1R×424R×L43×4R×{0}×{0
4、}×L⊂R12ni．n∞12n∞例2.R=ℵ．从而，R=R=L=R=R=ℵ．证：令A={(x1,x2,L,xn,L)xn∈(0,1)}．由映射∞ϕ((x1,x2，L，xn,L))=(tg(x1−0.5)π,tg(x2−0.5)π,tg(x3−0.5)π,L)知，A～R．仅需证A=ℵ．若把x∈(0,1)与A中点x=(x,x，L，x,L)对应，知(0,1)对等于A的一个子集．故ℵ=(0,1)≤A．另一方面，∀x=(x1,x2，L，xn,L)∈A，可用十进制小数表示为：x=0.xxxLxL，11112131nx=0.xxxLxL，
5、22122232nx=0.xxxLxL，33132333nLLLLLLLLLLLx=0.xxxL,xL，nn1n2n3nnLLLLLLLLLLL．利用对角线法则，映射ψ:x→0.x11x21x12x31x22x13L是A到∞(0,1)中的单射，从而A≤ℵ．A=ℵ=R．p进制小数：设p∈{2,3,4,L},tk∈{0,1,2,L,p−1},(k=1,2,3,L)．称级数1ttt12kx=++L++L2k为p进制小数．也记为x=0.t1t2LtkL．pppp进制有限小数全体是可列集，p进制小数全体的势为ℵ．ℵ0例3.可列集的子集
6、全体的势为ℵ，即2=ℵ．A证：记可列集A=(a1,a2，L，an,L)，构造A的幂集2到二进制小数全体B=[0,1]的映射f．⎧1,若a∈CnAf(C)=0.ttt，其中t=⎨∀C∈2，即C⊂A，定义12LnLn0,若a∉C．⎩nAAℵ0映射f:2→B是一一映射．2=2=B=ℵ=[0,1]．例4.用C[a,b]表示[a,b]上一切连续函数所成之集，yy=f(x)试证C[a,b]=ℵ．+∞证：记QI[a,b]={rn}1．首先，常值函数∈C[a,b]，故C[a,b]≥R=ℵ．oarnbx∞+∞其次，作映射ϕ:C[a,b]→R为
7、f(x)→{f(rn)}1．+∞+∞由于f(x)连续，若ϕ(f)={f(rn)}1={0}1，则f(x)=0(x∈[a,b])．∞故ϕ是单射，C[a,b]≤R=ℵ．这样，C[a,b]=ℵ．1.4.实直线上的开集和闭集1.直线上的开集和闭集开集：E⊂R,x∈E,若∃x的邻域U(x,δ)⊂E，称x为E的一个内点．((．))00E的内点全体记为E，称为内部．若E=E，称E为开集．0ExEx定理1.17.（开集性质）(1)φ,R是开集；(2)任意个开集的并集是开集；(3)有限个开集的交集是开集．证：(1)显然．(2)略．n(3)设G
8、1,L,Gn是开集．记G=IGk．若G≠φ,∀x∈G，则x∈Gk,(k=1,2,L,n)(开)．存k=1在x的邻域U(x,δk)⊂Gk,(1≤k≤n)．取δ=min{δ1,L,δn}，则U(x,δ)⊂G，x是内点，G是开集．定义1.9.(i)E的聚点全体E′称为E的导集；EE′中的点称为
