简明实变函数讲义(中文版)

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1、第一章集与集类nR中的点集集与集的运算是测度与积分理论的基础.本章先介绍集论的一些基本内容,包括集与集的运算,可数集和基数,一些具有某些运算封闭性的集类如环与σ−代数等.然后介n绍R中的一些常见的点集.§1.1集与集的运算教学目的集合论是本课程的基础.本节将引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的运算的基本概念.本节要点DeMorgan公式是以后常用的公式.证明两个集的相等是经常要遇到论证,应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的极限,学生应注意理解其概念.集是数学的基本概念之一.它不能用其它更基本的数学概念严格定义之,只能给予一种描述性的说明.集的定义以某种方式给定的一些事物

2、的全体称为一个集(或集合).例如,数学分析中的实数集,有理数集,函数的定义域和值域,满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等都是常用的集.几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或空间的点所构成的集.一般用大写字母如A,B,C等表示集,用小写字母如a,b,c等表示集的元素.若a是集A的元素,则用记号a∈A表示(读作a属于A).若a不是集A的元素,则用记号a∉A表示(读作a不属于A).1不含任何元素的集称为空集,用符号∅表示.约定分别用R,Q,N和Z表示实数集,有理数集,自然数集和整数集.集的表示方法第一种方法:列举法,即列出给定集的全部元素.例如A={a,b,c}.B={1,3,5,",2n

3、−1,"}.第二种方法:描述法.当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时,用下面的方式表示集A:1A={x:x具有性质P}.1例如,设f是定义在R上的实值函数,则f的零点所成的集A可表示成A={x:f(x)=0}.集的相等与包含设A和B是两个集.如果A和B具有完全相同的元素,则称A与B相等,记为A=B.如果A的元素都是B的元素,则称A是B的子集,记为A⊂B(读作A包含与B),或B⊃A(读作B包含A).若A⊂B并且A≠B,则称A为B的真子集.按照这个定义,空集∅是任何集的子集.由定义知道A=B当且仅当A⊂B并且B⊂A.集的运算并运算与交运算设A和B是两个集.由A和B的所有元素所构成的集称为A

4、与B的并集,简称为并(图1—1),记为A∪B.即A∪B={x:x∈A或者x∈B}.由同时属于A和B的元素所构成的集称为A与B的交集,简称为交(图1—2),记为A∩B.即A∩B={x:x∈A并且x∈B}.若A∩B=∅,则称A与B不相交.此时称A∪B为A与B的不相交并A∪BBBA∩BAA图1—1图1—2设T是一非空集(T可以是有限集或无限集),{A}是一族集.这一族集的并集和交tt∈T集分别定义为∪At={x:存在某个t∈T,使得x∈At},t∈T∩At={x:对每个t∈T,x∈At}.t∈T∞∞当T=N为自然数集时,∪An和∩An分别记成∪An和∩An,分别称为{An}的可数并n∈Nn∈Nn=1

5、n=12和可数交.并与交的运算性质(1)A∪A=A,A∩A=A.(幂等性)(2)A∪∅=A,A∩∅=∅.(3)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(交换律)(4)(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(结合律)(5)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),.A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).(分配率).分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形:A∩(∪∪Bt)=(A∩Bt),tT∈∈TtA∪(∩∩Bt)=(A∪Bt).tT∈∈Tt差运算与余运算设A和B是两个集.由A中的不属于B的那些元素所构成的集称为A与B的差集(图1—3),记为A−B或AB.即A−B={x:x∈

6、A并且x∉B}.通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集,X称为全空间.我们称全空间X与C子集A的差集X−A为A的余集(图1—4),记为A.设A和B是两个集.称集(A−B)∪(B−A)为A与B的对称差集,记为A∆B.BA−BCAAAX图1—3图1—4容易知道关于差运算和余运算成立以下性质:CC(6)A∪A=X,A∩A=∅.CC(7)X=∅,∅=X.C(8)A−B=A∩B.3关于余运算还成立下面重要的运算法则.定理1(DeMorgan公式)设(A)是一族集.则tt∈TCC(i).(∪At)=∩At(并的余集等于余集的交),t∈Tt∈TCC(ii)(∩At)=∪At(交的余集等于余集的并).t∈T

7、t∈TC证明(i).设x∈(∪At),则x∉∪At.故对任意t∈T,x∉At.即对任意t∈T,t∈Tt∈TccCccx∈At.因此x∈∩At.这表明(∪At)⊂∩At.上述推理可以反过来,即从x∈∩Att∈Tt∈Tt∈Tt∈TCcC可以推出x∈(∪At).这表明∩At⊂(∪At).因此(i)成立.类似地可以证明(ii).■t∈Tt∈Tt∈T定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法.例1设{f}是