零点与极点的关系.ppt

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1、第八讲留数1.定义2.分类3.性质4.零点与极点的关系§5.1孤立奇点1.定义例如----z=0为孤立奇点----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点----z=1为孤立奇点定义~~~~~~~~~xyo这说明奇点未必是孤立的。2.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：特点：没有负幂次项特点：只有有限多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项定义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称z=z0为m级极点;有无穷多个负幂次项，称z=

2、z0为本性奇点。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.性质若z0为f(z)的可去奇点若z0为f(z)的m(m1)级极点例如：z=1为f(z)的一个三级极点，z=i为f(z)的一级极点。若z0为f(z)的本性奇点4.零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成则称z=z0为f(z)的m级零点。例如：定理事实上，必要性得证！充分性略！例如定理:证明“”若z0为f(z)的m级极点例解显然，z=i是(1+z2)的一级零点综合1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则§5.2留数(Residue)1.留数的定义定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻

3、域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留数定义,Res[f(z),z0]=c–1(1)2.留数定理定理证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：用2i除上式两边得:得证！求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。一般求Res[f(z),z0]是采用将f(z)在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c–1的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。以下就三类孤立奇点进行讨论：3.留数的计算规则规则I规则II事实上，由条件当m=1时，式(5)即为式(4).规则III事实上，例1解例2解例3解

4、例4解故　由留数定理得：(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。如是f(z)的三级极点。---该方法较规则II更简单！(2)由规则II的推导过程知，在使用规则II时，可将m取得比实际级数高，这可使计算更简单。如作业P1471（1）（4）（7）8（2）（4）（6）（8）9（1）（2）（5）