ch5.1.1-5.1.2孤立奇点的分类,零点与极点的关系.pdf

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1、第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类作业：P1811（1）（5）（7）（9），2,6,7,9（2）（4），10,11,12（1）（3）（5），15（1）（2），16,17（2）（4）主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类孤立奇点：如果函数f(z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域0zz0内处处解析，则称z0为f(z)的孤立奇点.1z1e1如：z0是,ez,的孤立奇点.zz注意：孤立奇点是奇点，但奇点不一定是孤立奇点.11如：z1，zn1,2,是奇点，但不是孤立奇点.sinnz

2、今后，主要研究孤立奇点.主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类若z0是f(z)的孤立奇点，则由洛朗展开定理知，f(z)在z0的某个去心邻域可以展成洛朗级数.nnfzcnzz0cnzz0n1n0负幂项反映了f(z)在z0点的奇异性.根据Laurent级数展开式的系数cn的不同情况,可以把f(z)的孤立奇点分为三类.（1）可去奇点（2）极点（3）本性奇点主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类（1）可去奇点定义5.1如果f(z)在0zz内的Laurent级数0中不含有zz0的负幂项,即当n1,2,3

3、,时，c0,则称z0是f(z)的可去奇点.nnf(z)cc(zz)c(zz).010n0收敛半径至少为,和函数F(z)在z0处解析.无论f(z)在z0是否有定义，limfzc0重新定义f(z0)=c0zz0Fz,zz0在zz0R内，这样，f(z)在z0解析fzc0,zz0上式成立.z0称为f(z)的可去奇点.主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类可去奇点的判定（1）用定义去判定如果f(z)在z0的洛朗级数无负幂项，则z0为f(z)的可去奇点.（2）判断极限nf(z)cc(zz)c(zz)

4、.010n0若limfz存在，且为有限值.zz0主讲教师：吴慧卓第二十一讲解析函数的孤立奇点sinz例1因为在0z内的展开式为zsinz1214或者limsinz1,1zz,z3!5!z0z无负幂项sinz所以z=0是的可去奇点.zsinz,z0;如果补充定义:f(z)z1,z0,则f(z)在全平面解析.主讲教师：吴慧卓第二十一讲解析函数的孤立奇点（2）极点定义5.2如果f(z)在0zz0的Laurent级数展开式中只有有限多个z-z0负幂项，其中关于(z-z0)-1最高次幂为m,即m21fzcmzz

5、0c2zz0c1zz02c0c1zz0c2zz0m1,cm0那么称孤立奇点z0为f(z)的m级极点.主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类如果孤立奇点z0为f(z)的m级极点.m21fzcmzz0c2zz0c1zz02c0c1zz0c2zz0m1,cm0m2f(z)(zz)cc(zz)c(zz),0mm10m20nm令g(z)cc(zz)c(zz),mm10nn则g(

6、z)在zz0内解析，且g(z0)cm0,即1fzmgzlimf(z),即limf(z),zzzz0zz00主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类极点的判定（1）用定义去判定m21fzcmzz0c2zz0c1zz02c0c1zz0c2zz0m1,cm0（2）由等价形式判别m在点z0的某去心邻域内有f(z)(zz0)g(z)(m1),其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)0.（3）判断极限limf(z),即limf(z),

7、zz0zz0主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类z2例2求函数f(z)23的孤立奇点并判定类型.(z1)(z1)解zi,z1是函数的孤立奇点.311f(z)(z1)(zi)(zi)(z2),所以,zi是f(z)的1级极点,z1是f(z)的3级极点.主讲教师：吴慧卓第三十四讲解析函数的孤立奇点及其分类（3）本性奇点定义5.3如果f(z)在0zz内的Laurent级数0展开式中含有无穷多个系数非零的zz0负幂项,即m21fz+cmzz