自然常数e的无理性与超越性.pdf

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1、自然常数e的无理性与超越性自然常数用字母e来表示，记：，e有如下两个定义：，e≈2.71828182......一、证明e为无理数首先有：那么2

2、某个非零整系数多项式的根⑴对于任意大于

3、a0

4、和n的素数p，构造一个多项式：那么它的次数为m＝(p-1)+np,而f(x)的m+1阶导数为0，故令：两边积分：那么有：由假设，e为方程⑴的根：从f(x)的构造上知f(x)的p阶及p阶以上的导数均为整系数多项式且各项系数都能被p整除，而f(x)及其前p－1阶导数在x＝1，2，...，n处都等于0。所以F(1)、F(2)、...F(n)也都是p的整数倍。另外，在x＝0处f(x)的前p－2阶导数均为0，而不被p整除（因为n

5、p整除的整数。又因为p不整除a0，所以除第一项不被p整除外，其余各项均为p的倍数，而0被p整除，因而上述和式为不等于0的整数。由于0≤i≤n,当x在区间[0，n]上取值时，显然有：从而有：记：，则：因为p为固定的正整数，所以故⑵式右边当p→≦时以0为极限，而⑵式左边总为非0正整数所以矛盾，因此e为超越数。