韦承勋——自然常数e.doc

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1、自然常数简介　　自然常数e就是lim(1+1/x)^x,x->+∞或lim(1+z)^(1/z),z->0,其值约为2.71828,，是一个无限不循环数。[编辑本段]自然常数来源　　旋涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……　　螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：　　φkρ=αe　　其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e.

2、　　e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Eulernumber），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。　　它的数值约是（小数点后100位）：e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274　　第一次提到常数e，是约翰?纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数

3、，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(WilliamOughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各?伯努利(JacobBernoulli).　　已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。　　用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用

4、字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。　　很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特(CharlesHermite)于1873年证明。[编辑本段]自然常数e数学意义　　超越数主要只有自然常数和圆周率。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生

5、活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。　　自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。　　自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是函数y=f(x)=(1+1/x)^x，当x趋向无穷大时y的极限。　　同时，它也等于1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。同时说明，0!也等于1。　　自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数y=f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。函数y=f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=loga(e)/x。　　自然常数也和质数

6、分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有a/ln(a)个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，则个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。　　此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常数。这需要使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以a的b次方的最大值约为81832.652。　　e是极为常

7、用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。　　（1）数列或函数f(n)=(1+1/n)^n即(1+1/n)的n次方的极限值　　数列：1+1，（1+0.5）的平方，（1+0.33…）的立方，1.25^4，1.2^5，…　　函数：实际上，这里n的绝对值(即“模”)需要并只需要趋向无穷大。　　（2）sum(1/n!)，n取0至无穷大自然数。即1+1/1！+1/2！+1/3！+…　　（3）几个初级的相关公式：e^ix=cosx+i(sinx)，e^x=coshx+sinhx===sum[(1/n!)x^n]，由此可以结合三角函数或双曲