简并态微扰论.ppt

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1、例2.设Hamilton量的矩阵形式为：（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：H0是对角矩阵，是HamiltonH0在自身表象中的形式，而且能级是非简并的。所以能量的0级近似为：1E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非简并微扰公式得能量一级修正（此处每一能级都要修正！）：2能量二级修正为：准确到二级近似的能量为：3设H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(2)精确解：如何来的？与近似解比较：4可知，微扰论二级近似结果与精

2、确解展开式不计c4及以后高阶项的结果相同。比较（1）和（2）之解(3)将准确解按c(<<1)展开：﹟5Thisistheendofthenondegneratepurterbationtheory!总结：非简并微扰论处理问题的方法（2）写出未微扰哈密顿的解（3）求微扰哈密顿在零级近似波函数的平均值—能量的一级近似（4）求能量的二级近似（5）求波函数到一级近似（1）分解体系的哈密顿6（一）简并微扰理论（二）实例（三）讨论§10.2简并微扰理论7假设En(0)是简并的，那么属于H0的本征值En(0)有k个归一化本征函数:

3、n1>,

4、n2>,......,

5、nk>，且

6、

7、n>=显然它们满足本征方程：共轭方程为（一）简并微扰理论为描述方便，我们将量子数n对应的能级和k重简并波函数分别写为En(0)、

8、nα>。请注意与教材中的

9、nν>对应。8在用微扰论求解问题时，需要知道某一个能级对应的0级近似波函数，即在k个本征函数中应取哪一个作为波函数的0级近似。故在简并情况下，首先要解决如何选0级近似波函数的问题，然后才求能量和波函数的各级修正。0级近似波函数肯定应从这k个

10、n>中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：即有k个归一化本征函数:

11、n1>,

12、n2>,......,

13、nk>9

14、ψn(0)>已是正交归一化系数c

15、由一次幂方程定出左乘

16、得：根据这个条件，我们选取0级近似波函数

17、ψn(0)>的最好方法是将其表示成k个

18、n>的线性组合。1011得：上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有非零解的条件是系数行列式为零，即有久期方程12解之得一级修正En(1)的k个根:En(1),=1,2,...,k.因En=En(0)+E(1)n若这k个根都不相等,则一级微扰可将k度简并完全消除；若En(1)有重根,则简并只是部分消除,须考虑二级修正能级才可能完全分裂。13为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把E(1)n之值代入线性方程组从而解得一组

19、c(=1,2,...,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数。为了能表示出c是对应第个能量一级修正En(1)的一组系数，我们再加一上角标而改写成c。14这样一来，线性方程组就改写成：15例1.氢原子一级Stark效应（1）Stark效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为Stark效应。（二）实例我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n个能级有n2度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。16（2）外电场下氢原子Hami

20、lton量取外电场沿z正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。17（3）H0的本征值和本征函数下面我们只讨论n=2的情况，这时简并度n2=4。属于该能级的4个简并态是：18即19我们碰到角积分需要利用如下公式：由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量在以上各态的矩阵元。（4）求在各态中的矩阵元20于是:欲使上式不为0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：21因为所以仅当Δ=±1,Δm=0时，H’的矩阵元

21、才不为0。因此矩阵元中只有不等于0。对22这是微扰矩阵元的表达式23（5）能量一级修正解得4个根：由此可见，在外场作用下，原来4度简并的能级E2(0)在一级修正下被分裂成3条能级，简并部分消除。将的矩阵元代入久期方程，得：24E2E1无外电场有外电场当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了3条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图：25（6）求新的0级近似波函数分别将E2(1)的4个值代入方程组：得四元一次线性方程组26将E2(1)=E21(1)=3eεa0代入上面方程，得：所以相应于能级E2(0)+3eεa0的0级近似波函数是：

22、将E2(1)=E22(1