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1、《数理天地》丛书主编周国镇历届“希望杯”全国数学邀请赛试题详解高中二年级“希望杯”全国数学邀请赛命题委员会编出版前言“希望杯”全国数学邀请赛自1990年开始举办,至今已经十二届了。第一届有11万名中学生参加,到第九届,每年的参赛人数都超过百万。12届以来,参赛中学生累计超过800万。国内中学生学科竞赛活动,有如此大的规模,有如此众多的中学生参加,除“希望杯”之外,没有第二个。这充分说明了“希望杯”在中学生中受欢迎的程度。中学生为什么喜欢参加“希望杯”?很重要的一个原因是题目出得好,出得漂亮,有较大的思维空间。“
2、希望杯”命题委员会拥有国内第一流的数学竞赛方面的专家,他们精心地编拟了历届的试题。同学们正是通过做这些题,学习它们、研究它们,从而更扎实、更开阔地掌握了知识,增长了智慧和才干,使学习更有信心,成绩更出色。“希望杯”如同一把金钥匙,对每个参赛的中学生,它既开启了智慧之门,更开启了信心之门。这正是“希望杯”的魅力所在。在中学任教的数学老师们,同他们的弟子一样也很喜欢“希望杯”——因为,从这个“杯”中,层出不穷,不断涌现出来的一个一个问题,为改进自己的教学,带出高水平的学生提供了难得的素材和有益的启示。为了让更多的中
3、学生和他们的老师(尤其是没有参加过“希望杯”的),也能共享我们十余年来的智慧结晶,我们将第一届至第十一届的试题按初一、初二、高一、高二这四个年级分四册出版,供四个年级分别使用。书中不当之处,请读者批评指正。周国镇“希望杯”命题委员会主任2001年11月1日图书在版编目(CIP)数据历届“希望杯”全国数学邀请赛试题详解.高二/周国镇主编.—北京:气象出版社,2002.1ISBN7-5029-3253-4Ⅰ.历⋯Ⅱ.周⋯Ⅲ.数学课-高中-解题Ⅳ.G634.605中国版本图书馆CIP数据核字(2001)第067957
4、号责任编辑:黄丽荣终审:周诗健封面设计:彭小秋责任技编:刘祥玉责任校对:庚申(北京市海淀区中关村南大街46号邮政编码:100081电话:68406961)北京市王史山印刷厂印刷全国各地新华书店经销开本:787×10921/32印张:9.875字数:222千字2002年1月第一版2002年1月第一次印刷印数:1～4000ISBN7-5029-3253-4/G·0950定价:13.00元“希望杯”全国数学邀请赛命题委员会主任周国镇《数理天地》杂志社社长、总编副主任周春荔首都师范大学数学系教授那吉生中国科学院数学科学
5、与系统科学研究院研究员余其煌中国科学院数学科学与系统科学研究院研究员高中二年级命题组成员组长那吉生中国科学院数学科学与系统科学研究院研究员成员郑学安北京师范大学教学系教授王建民中国科技大学附中特级教师储瑞年北京师范大学附属实验中学特级教师梁丽平中国人民大学附中高级教师熊斌华东师范大学数学系副教授吴伟朝广州师范学院数学系副教授试题及解答第一届(1990年)第一试试题一、选择题以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内.1.等差数列的第p项是1990,第1990项是p,那么第
6、p+q(q≥1991)项()(A)是个正数.(B)是个负数.(C)是零.(D)符号不能确定.1112.设Sk=++⋯+,则()k+1k+22k1(A)Sk+1=Sk+.2k+211(B)Sk+1=Sk++.2k+12k+211(C)Sk+1=Sk+-.2k+12k+211(D)Sk+1=Sk+-.2k+22k+13.函数y=(2+x)(6-x)()(A)有最小值,没有最大值.(B)有最大值,没有最小值.(C)有最小值,也有最大值.(D)没有最小值,也没有最大值.14.a,b∈R,那么©¦a+b©¦=©¦a©¦-
7、©¦b©¦是ab≤0的()(A)充分且必要的条件.(B)充分但不必要的条件.(C)必要但不充分的条件.(D)不充分也不必要的条件.1α5.α≠kπ(k∈Z),那么,secα与sin2α¡¤tan的符号22(指正负号)()(A)总是相同.(B)总是相异.(C)α在第1,3象限时,它们同号;α在第2,4象限时,它们异号.(D)α在第1,3象限时,它们异号;α在第2,4象限时,它们同号.6.正四面体内切球的体积是V,则它的外接球的体积是()(A)8V.(B)27V.(C)64V.(D)4V.7.一个平面把空间分为两部
8、分,两个平面最多把空间分为四部分,三个平面最多把空间分为八部分,那么,四个平面最多把空间分为()(A)16部分.(B)14部分.(C)15部分.(D)20部分.118.设a=arcsin(sin),b=arccos-,771c=arcsin-,则a,b,c的大小关系是()7(A)a>b>c.(B)b>a>c.(C)c>a>b.(D)b>c>a.29.方程arccotx+arcsinx=
