历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第一试试题

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1、第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2000年3月19日上午8：30—10：00一、选择题（每小题6分，共60分）1、直线l1，l2分别过点P(–2，–2)，Q(1，3)，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（）（A）(–∞，)]（B）(0，+∞)（C）(，+∞)（D）[，+∞])2、等比数列{an}中，a1+a2+…+a5=–27，a6+a7+…+a10=3，则(a1+a2+…+an)=（）（A）–30（B）30（C）（D）–3、正方体ABCD–A1

2、B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E和C1F所成的角是（）（A）arcsin（B）arccos（C）（D）4、圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面面积的最大值是（）（A）（B）（C）（D）5、Ifthelinex+y+a=0andthecirclex2+y2=1havetwodifferentintersections（交点）inthethirdquadrant（象限）,thentheinterval（范围）oftherealnumberais（）（

3、A）(–2，–1)（B）(–2，–)（C）(1，2)（D）(，2)6、使不等式2x–a>arccosx的解是–b>c，n∈N，且+≥恒成立，则n的最大值为（）（A）2（B）3（C）4（D）58、过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A、B两点，若

4、AF

5、∶

6、BF

7、=2∶3，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为（）（A）（B）（C）（D）9、设函数f(x)=(x–1)2+n（x∈[–1，3]，n∈N）的最小值为an，最大值为bn，记

8、Cn=b–2an，则数列{Cn}（）（A）是公差不为零的等差数列（B）是公比不为1的等比数列（C）是常数数列（D）不是等差数列也不是等比数列10、如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发，绕着O点，顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f(x)，那么f(x)的图象是（）二、A组填空题（每小题6分，共60分）11、已知0

9、1项的和是。13、如果任意实数x均使arctan≥–a成立，则a的取值范围是。14、f(x)=,iftheequationf(x)=ahasoneandonlyonerealroot（实根）,thena=。15、若不等式>的解集为{x

10、x≥4}，则整数k的最大值为。16、现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度Q=k∙b∙h2，（b为断面宽，h为断面高，k为常数），要使强度最大，则高与宽的比是。17、设P0是抛物线y=2x2+4x+3上的一点，M1，

11、M2是抛物线上的任意两点，k1，k2，k3分别是P0M1，M1M2，M2P0的斜率，若k1–k2+k3=0，则点P0的坐标为。18、过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y=x2于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是。19、给出一系列化合物的分子式：C6H6，C10H8，C14H10，…，若该系列化合物的分子式可以无限增大，则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为%。20、扇形铁皮AOB，弧长为20πcm，现剪下一个扇形环ABCD做圆台形容器的侧面，使圆台母线长30cm并从剩下的扇

12、形COD内剪下一个最大的圆，刚好做容器的下底（指较大的底），则扇形圆心角是度。三、B组填空题（每小题6分，共30分）21、函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[–2，0]时，f(x)的解析式写成分段函数的形式是，写成统一的形式是。22、如图，正三棱柱ABC–A1B1C1的所有棱长都相等，D是AA1的中点，则BC1和CD所成的角是，面BCD与面CDB1所成二面角等于。23、x，y∈R且x2–y2=2，则当有序数对(x，y)为时，

13、2x+3y

14、取得最

15、小值。24、数列{an}的前n项和Sn=n2，(n∈N)，则an=，cos2an–1+cos2an+cos2an+1=。25、圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是l，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与l的位置关系决定G是何种曲线之间的关系是：圆M与l的位置相离相切相交G是何种曲线答案：一、A、D、A、D、D、B、C、B、D、A；二、11、x