历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第二试试题

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1、第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f(x)=log(2x2+2x+1)x是（）（A）偶函数（B）奇函数（C）奇且偶函数（D）非奇非偶函数2、△ABC中，BC=6，BC上的高为4，则AB∙AC的最小值是（）（A）24（B）25（C）24（D）263、Ifl1:x+3y–7=0,l1:kx–y–2=0andpositivex–axisandpositivey–axismakeaquadrilateral,whichhasacir

2、cumcircle,thenk=（）（A）–6（B）–3（C）3（D）6（英汉小字典：positive正的；quadrilateral四边形；circumcircle外接圆）4、直线y=x+3和曲线–+=1的交点的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）35、若f(x+y)=f(x)∙f(y)，且f(1)=2，则+++…+=（）（A）1999（B）2000（C）2001（D）20026、定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞])上是增函数，且f()=0，则不等式f(logx)>0的解是（）（A）(，1)（B）(2，+∞)

3、（C）(0，)∪(2，+∞)（D）(，1)∪(2，+∞)7、将圆x2+(y–1)2=1的中心到直线y=kx的距离记为d=f(k)，给出以下三个判断：⑴数列{nf(n)}是递增数列；⑵数列{}的前n项和是；⑶(–)–1=1其中，正确的个数是（）（A）3（B）2（C）1（D）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（）（A）14（B）15（C）16（D）179、已知x、y、z∈R+，且++=1，则x++的最小值是（）。（A）5（B）

4、6（C）8（D）910、从一个半径是1分米的圆形铁片中剪去圆心角为x弧度的一个扇形，将余下的部分卷成一个圆锥（不考虑连接处用料），当圆锥的容积达到最大时，x的值是（）（A）（B）（C）(3–)π（D）π二、A组填空题（每题6分，共60分）11、空间中与一个位置确定的三角形的三条边距离都相等的点的轨迹是。12、Risthedomainoff(x),and“f(tanx)=sin2x”istruewhentherealnumberx∈(–,),thenthemaximumoff(sin2x)is.13、设f(x)=x2+bx

5、+9，g(x)=x2+dx+e，若f(x)=0的根是r，s，g(x)=0的根是–r，–s，则f(x)+g(x)=0的根是。14、已知定点A(1，3)，B(3，3)，点P在x轴上运动，当∠APB最大时，点P的横坐标是。15、已知A(–1，)，O是坐标原点，线段OA在坐标平面内绕原点顺时针旋转，扫过的面积是，这时A点到达的位置A'的坐标是。16、数列{an}满足：an+1=(–1)n+1n–2an，n≥1并且a1=a2001，则a1+a2+…+a2000=。17、已知△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，点P在△AB

6、C三边上运动，则PA+PB+PC的最小值是。18、如图，三棱台ABC–DEF上、下底面边长的比是1∶2（上底为ABC），G是侧棱CF的中点，则棱台被截面AGE分成的上、下两部分体积的比是。19、圆x2+y2=r2（r>0）经过椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点F1，F2，且与该椭圆有四个不同的交点，设P是其中的一个交点，若△PF1F2的面积为26，椭圆的长轴为15，则a+b+c=。20、当α是锐角时，(sinα+tanα)(cosα+cotα)的值域是。答案：一、A、A、C、D、B、C、A、B、D、D；二、11、过三角形

7、的内心且垂直于三角形所在平面的一条直线；12、1；13、±3i；14、；15、(1，)；16、–；17、a+b；18、2∶5；19、13+；20、(2，+)]。简解：4、（，），（0，3），（，）；10、V=πr2=πr∙r∙≤π()3=π，有r=，r=，r=1–；三、解答题21、当–1≤x≤1时，记函数f(x)=log(x2–ax+a2+2)的极大值为g(a)，试求g(a)的最大值。解：由x2–ax+a2+2=(x–a)2+a2+2可知：当a≤–1，即a≤–3时，g(a)=f(–1)=log(a2+a+3)≤g(–3)

8、=log10；当–1