刘绍学近世代数基础习题解答[1].pdf

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1、§11.1.P4,Ex1OdetO=−1cosθsinθO=sinθ−cosθO±11−cosθ=01(1−cosθ)x−sinθy=0l:(1−cosθ)x−sinθy=0xxxcosθx+sinθy∈R2,O=lyyysinθx−cosθyxly

2、(1−cosθ)x−sinθy

3、√2−2cosθxOly(1−cosθ)(cosθx+sinθy)−sinθ(sinθx−cosθy)

4、

5、(1−cosθ)x−sinθy

6、

7、√=√2−2cosθ2−2cosθ1xxOlyysinθx−cosθy−y·1−cosθ=−1cosθx+sinθy−

8、xsinθxxOlφlyy1−cosθ=01sinθx−(1+cosθ)y=0l1:sinθx−(1+cosθ)y=0xxOl1yyφl11.2.P4,Ex2φ,ϕ,θ∈T(M)(φ·ϕ)·θ=φ·(ϕ·θ)∀m∈M[(φ·ϕ)·θ](m)=[φ·(ϕ·θ)](m)[(φ·ϕ)·θ](m)=(φ·ϕ)(θm)=φ[ϕ(θm)][φ·(ϕ·θ)](m)=φ[(ϕ·θ)(m)]=φ[ϕ(θm)][(φ·ϕ)·θ](m)=[φ·(ϕ·θ)](m)(φ·ϕ)·θ=φ·(ϕ·θ)1.3.P4,Ex3S(K)60◦;120◦;180◦;240◦;300◦12§22

9、.1.P8,Ex1F0,1C√ai+bi2∈F,ai,bi∈Q,i=1,22√√√(a1+b12)±(a2+b22)=(a1±a2)+(b1±b2)2∈F√√√(a1+b12)(a2+b22)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2)2∈F√1√=a1+(−b12)∈Fa1+b12a2−2b2a2−2b21111√F∀0=a=a1+b12∈F√a−1=a1+(−b12)∈Fa2−2b2a2−2b21111F2.2.P8,Ex2FQ⊂FAut(F:Q)⊂Aut(F)Aut(F)⊂Aut(F:Q)FQ∀φ∈Aut(F)φ(1)=1n,φ(n)=n,φ(−n)=−n,

10、φ(n−1)=n−1q=m∈Q,m,n∈ZZnφ(m)=φ(m·n−1)=φ(m)·φ(n−1)=m·n−1=mnnφ∈Aut(F:Q)2.3.P8,Ex3√(1)x,y∈Qx+y2=0x=y=0x,y∈Q0z∈Qzx,zy(zx,zy)=1x,y0(x,y)=1√x+y2=0x2=2y2xx=2kk2k2=y2y(x,y)=1x=y=0√(2)x,y∈Qx+y6=0x=y=0√x,yx+y6=0x=y=0x,y0(x,y)=1√x+y6=0x2=6y2xx=2kk2k2=3y2y(x,y)=1x=y=03√(3)x,y∈Qx+y3=0x=y=0√x,yx+y3=0x=y

11、=0x,y0(x,y)=1√x+y3=0x2=3y2x3x=3kk3k2=y2y3(x,y)=1x=y=0√√(4)x,y,z∈Qx+y2+z3=0x=y=z=0√√x+y2+z3=0√√√x2=(y2+z3)2=2y2+2yz6+3z2√2y2+3z2−x2+2yz6=0(2)yz=0y=0z=0√√√y=0x+y2+z3=0⇔x+z3=0(3)x=z=0√√√z=0x+y2+z3=0⇔x+y2=0(1)x=y=0√√x+y2+z3=0x=y=z=0√√√(5)a,b,c,d∈Qa+b2+c3+d6=0a=b=c=d=0√√√a+b2+c3+d6=0√√√(b2+c3+d

12、6)2=(−a)2√√2b2+3c2+6d2+4bd3+6dc2=a2(4)bd=0dc=0√√√√√d=0a+b2+c3+d6=0⇔a+b2+c3=0(4)a=b=c=0√√√√b=0c=0a+b2+c3+d6=0⇔a+d6=0(2)a=d=0√√√a+b2+c3+d6=0a=b=c=d=042.4.P8,Ex4(1)0,1∈Q(i)ak+bki∈Q(i),k=1,2(a1+b1i)±(a2+b2i)=(a1±a2)+(b1±b2)i∈Q(i)(a1+b1i)·(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i0=a1+b1i∈Q(i)(a+bi)−1

13、=a1+(−b1)i∈Q(i)11a2+b2a2+b21111Q(i)√0,1∈Q(i,5)√√ak+bki+ck5+dk5i∈Q(i),k=1,2√√√√(a1+b1i+c15+d15i)±(a2+b2i+c25+d25i)√√√=(a1±a2)+(b1±b2)i+(c1±c2)5+(c1±c2)5i∈Q(i,5)√√√√(a1+b1i+c15+d15i)·(a2+b2i+c25+d25i)=(a1a2−b1b2+5c1c2−5d1d2)+(a1b2+b1a2+5c1d2+5d1c2)i√√√+(a1c2+c1a