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1、第一章：对称与群§1平面的运动群书后练习1・1・^4)Exl证明：因为0是正交矩阵，且deto=-1,所以可设°_fcos0sin0ysin0—cos0丿显然，0有持征值±1,且在1-cosO黑0时，属于持征值1的持征向量在直线(1一cos一sin6y=0上.取直线Z：(1—cos—sinOy=0.下面验证：，十z七”一/龙(cosOx+sin6ij关于直线l对任意的訴，都有，0=“yjyjyJsmOx-cosOy称.到直线I的距离是
2、(1—cos0)；r—sin0y\/2-2cos6»到直线/的距离是(1—c
3、osQ)(cos%+sin0”)一sin0(sinOx—cosOy)
4、/2—2cos0
5、(1—cos0)m—sin0g
6、/2-2cos0的连线与/之间的斜率之积:sincosOy—ycos6x+sin6y—x1—COS0sin0所以摺.关于直线I对称.这时，运动0是绕直线I的一个翻在1-COS0=0时，属于特征值1的持征向量在直线sinOx—(14-cos0)y=0上.取直线1:sinOx-(1+cos0)y=0.同样可以验证:与O(;)关于直线h对称.运动◎是绕直线h的一个翻摺.书后练习1・2・P,£Ex2证明：任収
7、札甲、0GT(M),要验证(0•卩)•0=0•(卩•0),只要验证：Vme都有[(0.卩)・®(m)=[0・(°.0)](m)・事实上，[(0•卩)•0](m)=(0•g)(0m)=[0•@•0)](m)=•0)(m)]=0[e(0m)h所以[(0・•0](m)=[0•(e•0)](m)・即(0•卩)•0=0•@•0)・□书后练习1・3・Ex3解：S(K)是由：恒等运动；绕其中心转60°;120°;180°;240°;300°的旋转；以及关于它的三条对角线；三组对边中点的连线所作的翻摺.一共是12个运动组成.口§2数域的对称
8、书后练习2・1・Exl证明：显然F是含有0,1的复数域C的一个子集.任意的di+bi/2Gf,(iijbiEQ,i=1,2,都有：(如+6ia/2)土@2+他/2)=@i土a2)+(加土&2)V2EF；@i+加/2)@2+^2/2)=@1。2+26i62)+(Qib‘2+bd、/26F；a1+W2=a?-26?+(~af-2b^2)€F'即F对数的加法、减法和乘法是封闭的；且VOa=尙4-6^2€F,都有tt_1=af切+(-空?2叔勾F.所以F是一个数域.口书后练习2.2.P,Ejc2证明：对任意的数域F,都有
9、QCF・且显然有Aut^F:Q)GAut(F)；下只要证明：A泌(F)cAut(F:Q).即数域F的任何一个自同构都保持Q不变.事实上：V06Auf(F),则0(1)=1,从而对任意的正整数n?$(n)=n,0(—允)=-n,(/>(n~1)=n_1；所以对任意的g=EQ,m,n€Z,Z11为整数集，都有0(署)=0(m•n_1)=0(m)•0(矿】)=m・n_1=署・所以QEAut{F:Q)・□书后练习2・3・Ps.Ex3证明：⑴首先证明：对任意的①，°WQ,若e+®/2=0,则x=y=0.对乂，°€Q不全为0,则存在z
10、eQ,使得刃，zy都是整数，且(zx、zy)=1.不失一股性，假设X,y是不全为0的整数且(龙，y)=1.由龙+yy/2=0可知：X2=2护.所以①是偶数，可设龙二2k,k为整数.从而2炉=沪，y也是偶数.这与(龙：y)=1矛盾.所以x=y=0.⑵同样可以证明：对任意的x,yeQ,若龙+耳/6=0,则x=y=0.事实上：只要证明对任意的整数工，妙，若z+yV6=0,则x=y=0.不失一股性，假设山y是不全为0的整数且仗，y)=1.由龙+j/a/6=0可知:x2=6护.所以龙是偶数，可设工=2k,k为整数.从而2炉=3沪，y
11、也是偶数.这与(①：y)=1矛盾.所以x=y=0.(5)同样可以证明：对任意的x,?/eQ,若e+j/x/3=0,则x=y=0.事实上：只要证明对任意的整数z,卩，若z+yy/3=0,则x=y=0.不失一般性，假设x-;y是不全为()的整数且(x,讥=1.由龙+y/3=0可知：x2=3y2.所以龙是3的倍数，可设龙=3k,k为整数.从而3妒=7/2,y也是3的倍数.这与(“)=1矛盾.所以x=y=0,⑷再证明：对任意的x,y,zeQ,若z+g/2+2/3=0,贝\x=y=z=0・由z+"a/2+zyJZ=0可得x2=
12、(抄/2+z/3)2=2y2+2yzy/^+3^2,2y，2+3z2—x2+2yz/6=0.由⑵的结论，知％=0,即"=0或者z=0・若“=0,贝ljZ+”/2+Zy/'i=O0z+Zy/3=0,由(3)的结论，x=z=0.若z=0,贝ijz+y/2+z/3=0oz+yy/2=
