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1、近世代数习题解答第一章基本概念1集合1.,但不是的真子集,这个情况什么时候才能出现?解׃只有在时,才能出现题中说述情况.证明如下当,但不是的真子集,可知凡是属于而,显然矛盾;若,但不是的真子集,可知凡属于的元不可能属于,故2.假定,,A∩B=?解׃此时,A∩B=A,这是因为A∩B=A及由得AA∩B=A,故,,及由得,故,2映射1.=,找一个到的映射.解׃此时易证都是到的映射.2.在你为习题所找到的映射之下,是不是的每一个元都是到的一个元的的象?解׃容易说明在之下,有的元不是的任何元的象;容易验证在之下,的每个元都是的象.3代数运算1.={所有不等于
2、零的偶数}.找到一个集合,使得普通除法是到的代数运算;是不是找的到这样的?解׃取为全体有理数集,易见普通除法是到的代数运算;同时说明这样的不只一个.2..规定的两个不同的代数运算.解׃abcaabcabcbbcaaaaa6ccabbdaacaaa4结合律1.={所有不等于零的实数}.是普通除法:.这个代数运算适合不适合结合律?解׃这个代数运算不适合结合律:,,从而.2.={所有实数}.:这个代数运算适合不适合结合律?解׃这个代数运算不适合结合律,除非.3.={},由表abcaabcbbcaccab所给的代数运算适合不适合结合律?解׃经过个结合等式后
3、可以得出所给的代数运算适合结合律.5交换律1.={所有实数}.是普通减法:.这个代数运算适合不适合交换律?解׃一般地除非.2.,由表abcdaabcdbbdacccabdddcab所给出代数运算适合不适合交换律?解׃,6从而.故所给的代数运算不适合交换律.6分配律假定:是的两个代数运算,并且适合结合律,适合两个分配律.证明证׃===7一一映射、变换1.={所有的实数},{所有实数}.找一个与间的意义映射.证:因为是大于零的实数,所以是实数即,而,而且.因此是到的映射.又给了一个的任意元,一定有一个的元,满足,因此是到的满射.若,则.即因此又是到的单
4、射.总之,是到的一一映射.2.={所有的实数},{所有实数,}.找一个到的满射.证,容易验证是到的满射.3.假定是与间的一个一一映射,是的一个元.若是的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解׃,未必有意义;当是的一一变换时,8同态1.={所有实数},的代数运算是普通乘法.以下映射是不是到的一个子集的同态满射?6证׃显然{所有的实数}.又由于可知是到的同态满射.由于(除非)所以不是到的同态满射.由于,易知是到的同态满射.这里={所有的实数}.一般来说,,:所以不是到的同态满射.2.假定和对于代数运算和来说同态，和对于代数运算和来说同态，证明和对
5、于代数运算和来说同态。证:用表示到的同态满射,表示到的同态满射.令：,容易验证是到的满射所以是和的关于代数运算来说的同态满射。9同构、自同构1.={},代数运算由下表给定abcacccbccccccc找出所有的一一变换.对于代数运算来说,这些一一变换是否是的子同构.证:所有的一一变换有个容易验证及是的子同构.2.={所有有理数},找一个的对于普通加法来说的子同构6(映射除外)证:,对普通加法来说是的一个子同构,验证这一点是容易的.3.{所有有理数};的代数运算是普通加法.{所有的有理数}的代数运算是普通乘法.证明对于给的代数运算来说,与间没有同构映
6、射存在(现决定在一个同构映射之下的象)证:设与间有同构映射存在,先看在之下的象再看在之下某一元的象,那么.但.所以故必,即对来说,在之下设有,由于是一同构映射,于是但又知,,故从而,与矛盾.>10等价关系与集合的分类1.={所有实数},的元间的关系以及是不是等价关系?解׃>不是等价关系,因为不大于不是等价关系,因为但不大于等于.2.有人说:假如一个关系适合对称和推移律,那么它也适合反射律.他的推论方法是:因为适合对称律因为适合推移律这个推论方法有什么错误?证:这里的是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意.今举一例说明上述推论方法是错误的:比如:
7、={,是”互补”是的元间的一个关系.容易验证这一关系适合对称律,推移律,但不适合反射律.3.仿照例3规定整数间的关系证明你所规定的一个等价关系,并且找出模的剩余类.证:规定当而且只当时,因为所以6,因而是等价关系,对模的剩余类:6
