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《史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(1).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章λ－矩阵与矩阵的JdJordan标准形λ--矩阵的基本概念定义：设ai()(λ=1,2,??,;mj=1,2,,)nij为数域F上的多项式，则称⎡⎤aa()λλ()?a()λ11121n⎢⎥aa()λ()λλ?a()A()=⎢⎥21222nA()λ⎢????⎥⎢⎥⎣⎦aa()λλ()?a()λ⎣⎦mm12mn为多项式矩阵或λ-矩阵.ai()λ(1==,,;1??mj,,)n中最高的次数为A()λij的次数。特例:数字矩阵,特征矩阵λEA−.定义如果λ-矩阵A()λ中有一个r阶(1r≥)子式不为零，而所有r+1阶子式(如果有的话)全
2、为零，则称A()λ的秩为r，记为rank()Aλ=r零矩阵的秩为0。定义一个n阶λ-矩阵称为可逆的，如果有一个n阶λ-矩阵B()λ，满足AB()()λλλ=BA()()λ=E这里E是n阶单位矩阵。B()λ称为A()λ矩阵的逆−1矩阵，记为A()λ。定理2.1.1一个n阶λ-矩阵A()λ可逆的充分必要条件是是detA()λ一个非零的常数。定义下列各种类型的变换，叫做λ-矩阵的初等变换：(1)矩阵的任二行(列)互换位置；(2)非零常数c乘矩阵的某一行(列)；(3)矩阵的某一行(列)的ϕλ()λ倍加到另一行(列)上去，其中ϕ()λ是λ的一个多
3、项式。对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种λ矩阵得初等矩阵Pij()(,),P(i(c)),Pij(()(,())ϕ)⎡⎤1⎢⎥B⎡1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥01B⎢⎥⎢⎥Pij(,)=B,Pic(())=⎢c⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥10B⎢⎥⎢⎥⎢⎥B⎢⎣1⎥⎦⎢⎥⎣⎦1⎡⎤1i列⎢⎥Bi行Pij(,())ϕ=⎢⎥⎢⎥ϕλ()Bj行⎢⎥⎣⎦1定理对一个mn×的-矩阵λ的行作初等行变λA()换，相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A()λ。对A()λ的列作初等列变换，相当于用相应的n阶初等矩阵右乘A()λ。−1−11−Pi(,)j=Pi(,),jP
4、ic(())=Pic(()),−1Pi(,())jϕ=Pi(,()).j−ϕ定义如果A()λ经过有限次的初等变换之后变成B()λ，则称A()λ与B()λ等价，记之为AB()λλ.()定理A()λ与B()λ等价的充要条件是存在两个可逆矩阵P()λ与Q()λ，使得BPA()λ=()()()λλλQP66推论2.1.2λ矩阵的等价关系满足：（1）自反性：A()λ.A();λ（2）对称性：ABBA()λ..()λλλ则()();（3）传递性：若，则ABBCAC()λ...()()λλλλλ(),()().λ−矩阵Smith标准形的存在性定理任意
5、一个非零的mn×型的λ-矩阵都等价于一个“对角矩阵”，即⎡⎤d()λ1⎢⎥d()λ⎢⎥2⎢⎥B⎢⎥A()λ.d()λ⎢⎥r⎢⎥0⎢⎥⎢⎥B⎢⎥⎣⎦0其中rd≥1,(iλ)是首项系数为1的多项式且dd()λ()(λi=12,,,?r−1)ii+1称这种形式的λ-矩阵为A()λ的Smith标准形。dd12(),(),,()λλλ?dr称为A()λ的不变因子。2⎡⎤1−λλλ例1⎢⎥A()λλλλ=−⎢⎥⎢+22−2⎥1λλλ⎣⎦将其化成SithSmith标准形。解：22⎡⎤11−+λλλ⎡λλ0⎤⎢⎥⎢⎥A()λλλλλλλ=−.−⎢⎥⎢⎥
6、⎢⎥+−+222⎢22−2⎥11λλλλλλ⎣⎦⎣⎦2⎡10λλ+⎤⎡100⎤⎢32⎥⎢32⎥.⎢⎥0−−λλλλ+−.⎢⎥0−−+−λλλλ⎢−−−−432⎥432⎣0λλλλ⎦⎢⎣0−−−−λλλλ⎥⎦⎡100⎤⎡100⎤⎢⎥32⎢⎥32.0−−+−λλλλ.0−λ−−+λλλ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0−−−−432243⎢⎥⎣⎦λλλλ⎢⎥⎣⎦0−−−−⎢⎥⎣⎦0λλλλ⎡⎤100⎡⎤100⎢32⎥⎢⎥.0−−−+λλλλ.00λ⎢⎥⎢⎥2⎢⎣00−−λλ⎥⎦⎢⎥⎣⎦00(1λλ+)例222⎡⎤3232123λλ+++−−λλλ+−⎢⎥2
7、2A()λ=+−−+−435λλλλλ3234⎢⎥⎢⎥2+−−−λλ421λλ⎣⎦将其化为Smith标准形。学生自己看解：2⎡⎤λ+λλλ−−−421⎢⎥22A()λλλλλλ.3232123+++−−+−⎢⎥⎢⎥22+−−+−435λλλλλ3234⎣⎦2⎡⎤λ+−λλλ421−−⎢22⎥.437λλ+++−−3334λλλ+−⎢⎥⎢⎥22+−−+−⎢⎥435λλ++3234λλλ⎣⎦2⎡⎤λ+−λλλ421−−⎢⎥22.437λλ+−3334λλλ−+−⎢⎥⎢⎥210⎣⎦⎡210⎤⎢⎥2.λλ+−421λ−λ−⎢⎥22⎢⎥⎣437λ
8、+−λλλλ3334−+−⎦⎡120⎤⎢⎥2.λλ−+24λ−−λ1⎢⎥22⎢⎥⎣33437λ−+λλλλ−+34−⎦⎡⎤120⎢⎥2.01λλ−λ−⎢⎥22⎢⎥⎣⎦04λλλλ−31−+34−⎡⎤100⎢
