数理统计答案(汪荣鑫)(2).pdf

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1、第一章抽样和抽样分布3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：2设子样值x1,x2,…,xn的平均数x为和方差为sxxaiy作变换i，得到y,y,…,y,它的平均c12nxa222i数为和方差为yi。试证：xacys,cs。ycxy2syxaixacy解：由变换yi，即iicxii(acy),nxnacny,xacyii221122c222而sx(xix)(acyiacy)(yiy)csyninini12.在五块条件基本相同的田地上种植

2、某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。解：作变换11yixi100,a100,yyi00ni5xay10011222222222sxsyyiy[(8)(6)356]034ni512.设X,X,…,X是参数为的泊松分布的母体12n的一个子样，是子样平均数，试求EX和DX。解：111xp(),ExE(xii)Exnniinn111DxD()xii22DxDxn

3、ininin13.设X,X,…,X是区间（-1，1）上均匀分12n布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。2解：1121xU(1,1),Ex0,Dx212311ExE(xii)ExEx0nnii111DxD()xiDxnin3n14.设X,X,…,X是分布为的正态母体的一12n个n12YX2()ii1子样，求的概率分布。x2i解：XN(,),则yinN(0,1),且Y1,...,Y之间相互独立12xi22Y2(xii)

4、()yiii22由分布定义Yn()，Y服从自由度为n的2分布。15.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x,x,x,x,x,x）。12345622Y(XXX)(XXX)又设123456。试决定常数C,使2得随机变量CY服从分布。解：XN(0,1),ZXXXN(0,3),11232ZZ112N(0,1),(1)133ZXXX亦服从N(0,3)且与Z相互独立，245612ZZ222N(0,1),(1)3322且与相互独立。由

5、分布可加性，22ZZ12122121(ZZ)Y(2),c1233333217.已知Xtn()，求证XF(1,)nU证明：令Xtn(),其中UN(0,1)2/n22222(),n且U与独立,U亦与独立222UX,由F分布定义XF(1,)n2/n28设母体XN(40,5),从中抽取容量n的样本求（1）n=36时，Px(3843)2解：5xN(40,)643840x404340P38x43P{}5/65/65/6PU{2.43.6}

6、(3.6)(2.4)(2.4)0.9918（2）n=64时，求Px{401}25解：xN(40,)64x4018Px{401}P{}pU{}5/85/8582()10.89045第二章参数估计1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为xex,0f(x)=0,x0其中0。试用矩法求的估计量。解：xe()xex,0f(x)=（0）0,x0x1Exxfxdx()xedx011＾用样本x估计Ex，则有x,

7、x2.设母体X具有几何分布,它的分布列为P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,…先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计.解:(1)矩法估计kk111EXk(1p)pp[(1p)]'p2kk1pp1＾pxixx111(((1x))'[]'()')2i1(1x)xx(2)极大似然估计nxnixii1nL(1p)p(1p)pi1lnL(xin)ln(1p)nlnpinxidlnLn1i0,

8、＾pdp1ppx3.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布,其分布密度为1,axbf(x)=ba0,其他其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量.ab12解:XUabEX[,],,DX(ba)2122用X和S分别估计EX和DXab得X＾aX3S22S2()ba＾bX3S124.设母体X的分布密度为xx1,01f(x)=其中00,其他(1)求的最大似然估计量;(2)用矩法求的估计量.1解:xx,01xfx()()